ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 170 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит его угол в отношении 4 : 5. Определите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
1. В прямоугольнике \(ABCD\), \(\angle B = \angle ABH + \angle CBH = 90^\circ\). Из условия \(\frac{\angle ABH}{\angle CBH} = \frac{4}{5}\) следует, что \(\angle ABH = \frac{4}{5} \angle CBH\). Подставим: \(\frac{4}{5} \angle CBH + \angle CBH = 90^\circ\). Получаем \(\frac{9}{5} \angle CBH = 90^\circ\), откуда \(\angle CBH = 50^\circ\). Тогда \(\angle ABH = \frac{4}{5} \cdot 50^\circ = 40^\circ\). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(AO = BO\).
2. В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)) находим \(\angle BAH = 90^\circ — \angle ABH = 90^\circ — 40^\circ = 50^\circ\).
3. В равнобедренном треугольнике \(\triangle AOB\) (\(AO = BO\)) углы при основании равны: \(\angle ABO = \angle BAO\). Так как \(\angle BAO\) это то же самое, что и \(\angle BAH\), то \(\angle ABO = 50^\circ\). Искомый угол \(\angle DBH = \angle ABO — \angle ABH = 50^\circ — 40^\circ = 10^\circ\).
Пусть дан прямоугольник \(ABCD\). По определению прямоугольника, все его внутренние углы равны \(90^\circ\). В частности, угол \(\angle ABC = 90^\circ\).
Дано, что отрезок \(BH\) перпендикулярен диагонали \(AC\), что означает, что угол \(\angle BHA = 90^\circ\). Также дано соотношение углов \(\frac{\angle ABH}{\angle CBH} = \frac{4}{5}\).
Мы знаем, что \(\angle ABC = \angle ABH + \angle CBH\). Подставим известное значение \(\angle ABC\):
\(90^\circ = \angle ABH + \angle CBH\).
Из данного соотношения \(\frac{\angle ABH}{\angle CBH} = \frac{4}{5}\) мы можем выразить \(\angle ABH\) через \(\angle CBH\):
\(\angle ABH = \frac{4}{5} \angle CBH\).
Теперь подставим это выражение в уравнение для суммы углов:
\(90^\circ = \frac{4}{5} \angle CBH + \angle CBH\).
Чтобы сложить дроби, приведем \(\angle CBH\) к общему знаменателю:
\(90^\circ = \frac{4}{5} \angle CBH + \frac{5}{5} \angle CBH\).
\(90^\circ = \left(\frac{4}{5} + \frac{5}{5}\right) \angle CBH\).
\(90^\circ = \frac{9}{5} \angle CBH\).
Теперь найдем значение \(\angle CBH\):
\(\angle CBH = 90^\circ \cdot \frac{5}{9}\).
\(\angle CBH = \frac{450^\circ}{9}\).
\(\angle CBH = 50^\circ\).
Зная \(\angle CBH\), мы можем найти \(\angle ABH\):
\(\angle ABH = \frac{4}{5} \cdot 50^\circ\).
\(\angle ABH = 4 \cdot 10^\circ\).
\(\angle ABH = 40^\circ\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\). В этом треугольнике \(\angle AHB = 90^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle BAH + \angle ABH + \angle AHB = 180^\circ\).
\(\angle BAH + 40^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).
\(\angle BAH + 130^\circ = 180^\circ\).
\(\angle BAH = 180^\circ — 130^\circ\).
\(\angle BAH = 50^\circ\).
Теперь рассмотрим свойства диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Тогда \(AO = OC = BO = OD\).
Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Поскольку \(AO = BO\), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае, основанием является сторона \(AB\), а углы при основании — это \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\).
Таким образом, \(\angle OAB = \angle OBA\).
Угол \(\angle OAB\) — это тот же самый угол, что и \(\angle BAH\), который мы только что нашли.
Следовательно, \(\angle OAB = 50^\circ\).
Значит, \(\angle OBA = 50^\circ\).
Угол \(\angle OBA\) также можно обозначить как \(\angle DBA\), поскольку точка \(O\) лежит на отрезке \(DB\).
Итак, \(\angle DBA = 50^\circ\).
Нам нужно найти угол \(\angle DBH\). Мы знаем, что \(\angle DBA = \angle DBH + \angle HBA\).
Мы уже нашли \(\angle DBA = 50^\circ\) и \(\angle HBA = \angle ABH = 40^\circ\).
Подставим эти значения в уравнение:
\(50^\circ = \angle DBH + 40^\circ\).
Чтобы найти \(\angle DBH\), вычтем \(40^\circ\) из \(50^\circ\):
\(\angle DBH = 50^\circ — 40^\circ\).
\(\angle DBH = 10^\circ\).
\(10^\circ\)
