ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 171 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Средняя линия \( MK \) трапеции \( ABCD \) (\( BC \parallel AD \)) равна 56 см. Через середину \( M \) стороны \( AB \) проведена прямая, которая параллельна стороне \( CD \) и пересекает основание \( AD \) в точке \( E \) так, что \( AE : ED = 5 : 8 \). Найдите основания трапеции.
Так как \(EMKD\) — параллелограмм, то \(ED = MK\). Зная, что \(MK = 56\) см, получаем \(ED = 56\) см.
Дано отношение \(AE : ED = 5 : 8\), значит \(AE = \frac{5}{8} ED\).
Тогда \(AD = AE + ED = \frac{5}{8} ED + ED = \frac{13}{8} ED\).
Подставляем значение \(ED\): \(AD = \frac{13}{8} \cdot 56 = 13 \cdot 7 = 91\) см.
Средняя линия трапеции \(MK = \frac{AD + BC}{2}\).
Отсюда \(2MK = AD + BC\), или \(BC = 2MK — AD\).
Подставляем известные значения: \(BC = 2 \cdot 56 — 91 = 112 — 91 = 21\) см.
Ответ: 21 см; 91 см.
Дана трапеция \(ABCD\), в которой \(MK\) является средней линией. Это означает, что точка \(M\) — середина боковой стороны \(AB\), а точка \(K\) — середина боковой стороны \(CD\). Длина средней линии \(MK\) составляет \(56\) см. По определению, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то есть \(MK \parallel AD\) и \(MK \parallel BC\). Также, длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований, что выражается формулой \(MK = \frac{AD + BC}{2}\).
Через точку \(M\), которая является серединой стороны \(AB\), проведена прямая \(ME\), параллельная стороне \(CD\). Эта прямая \(ME\) пересекает основание \(AD\) в точке \(E\). Рассмотрим четырехугольник \(EMKD\). Поскольку \(ME \parallel CD\) по условию, и точка \(K\) лежит на отрезке \(CD\), то \(ME \parallel DK\). Кроме того, как было упомянуто ранее, средняя линия \(MK\) параллельна основанию \(AD\). Так как точки \(E\) и \(D\) лежат на отрезке \(AD\), то \(MK \parallel ED\). Таким образом, в четырехугольнике \(EMKD\) обе пары противоположных сторон параллельны (\(ME \parallel DK\) и \(MK \parallel ED\)), что по определению означает, что \(EMKD\) является параллелограммом.
В параллелограмме противоположные стороны равны по длине. Следовательно, длина стороны \(ED\) равна длине стороны \(MK\). Поскольку нам дано, что \(MK = 56\) см, то и \(ED = 56\) см.
Нам также дано отношение длин отрезков \(AE : ED = 5 : 8\). Это отношение можно записать как \(\frac{AE}{ED} = \frac{5}{8}\). Подставим известное значение \(ED = 56\) см в это уравнение: \(\frac{AE}{56} = \frac{5}{8}\). Чтобы найти \(AE\), умножим обе части уравнения на \(56\): \(AE = \frac{5}{8} \cdot 56\). Выполняя умножение, получаем \(AE = 5 \cdot 7 = 35\) см. Длина основания \(AD\) является суммой длин отрезков \(AE\) и \(ED\). Таким образом, \(AD = AE + ED = 35 + 56 = 91\) см.
Теперь, используя формулу для средней линии трапеции \(MK = \frac{AD + BC}{2}\), мы можем найти длину второго основания \(BC\). Подставим известные значения \(MK = 56\) см и \(AD = 91\) см в формулу: \(56 = \frac{91 + BC}{2}\). Умножим обе части уравнения на \(2\), чтобы избавиться от знаменателя: \(56 \cdot 2 = 91 + BC\), что дает \(112 = 91 + BC\). Чтобы найти \(BC\), вычтем \(91\) из обеих частей уравнения: \(BC = 112 — 91 = 21\) см.
Ответ: 21 см; 91 см.
