ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 172 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \( CD \) — биссектриса треугольника \( ABC \). Через точку \( D \) проведена прямая, которая параллельна прямой \( AC \) и пересекает сторону \( BC \) в точке \( E \). Найдите отрезок \( DE \), если \( AC = 16 \) см, \( BC = 24 \) см.
Из \(DE \parallel AC\) и \(CD\) — секущая, следует \(\angle EDC = \angle ACD\) (накрест лежащие).
Поскольку \(CD\) — биссектриса, \(\angle BCD = \angle ACD\).
Следовательно, \(\angle EDC = \angle BCD\), значит \(\triangle DEC\) равнобедренный, и \(DE = EC\).
\(\triangle DBE \sim \triangle ABC\) по двум углам (\(\angle B\) общий, \(\angle BDE = \angle BAC\) как соответственные при \(DE \parallel AC\)).
Из подобия следует \(\frac{DE}{AC} = \frac{BE}{BC}\).
Подставляем \(BE = BC — EC = BC — DE\).
\(\frac{DE}{16} = \frac{24 — DE}{24}\).
\(24DE = 16(24 — DE)\).
\(24DE = 384 — 16DE\).
\(40DE = 384\).
\(DE = \frac{384}{40} = 9.6\) см.
Дано: отрезок \(CD\) является биссектрисой угла \(C\) треугольника \(ABC\). Прямая \(DE\) параллельна прямой \(AC\), то есть \(DE \parallel AC\). Длина стороны \(AC\) составляет \(16\) см, а длина стороны \(BC\) равна \(24\) см. Требуется найти длину отрезка \(DE\).
Рассмотрим прямые \(DE\) и \(AC\), которые являются параллельными по условию задачи, и секущую \(CD\). В этом случае углы \(\angle EDC\) и \(\angle ACD\) являются накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых и секущей, накрест лежащие углы равны, следовательно, мы можем записать, что \(\angle EDC = \angle ACD\).
По условию задачи, отрезок \(CD\) является биссектрисой угла \(C\) треугольника \(ABC\). Это означает, что биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, угол \(\angle BCD\) равен углу \(\angle ACD\), то есть \(\angle BCD = \angle ACD\).
Из двух предыдущих утверждений, а именно \(\angle EDC = \angle ACD\) и \(\angle BCD = \angle ACD\), мы можем сделать вывод, что \(\angle EDC = \angle BCD\). Это означает, что в треугольнике \(DEC\) углы при основании \(CD\) равны. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник \(DEC\) является равнобедренным с основанием \(CD\), а равными сторонами являются \(DE\) и \(EC\). Таким образом, \(DE = EC\).
Теперь рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(DBE\). Угол \(\angle B\) является общим для обоих треугольников. Далее, поскольку прямая \(DE\) параллельна прямой \(AC\), а прямая \(AB\) является секущей, то углы \(\angle BDE\) и \(\angle BAC\) являются соответственными углами. По свойству параллельных прямых и секущей, соответственные углы равны, поэтому \(\angle BDE = \angle BAC\).
Поскольку в треугольниках \(ABC\) и \(DBE\) два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (\(\angle B\) общий и \(\angle BDE = \angle BAC\)), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Следовательно, мы можем записать, что \(\triangle ABC \sim \triangle DBE\).
Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны. Мы можем записать следующее соотношение: \(\frac{AC}{DE} = \frac{BC}{BE}\).
Мы знаем, что длина отрезка \(BE\) может быть выражена как разность длин отрезков \(BC\) и \(EC\), то есть \(BE = BC — EC\). Ранее мы установили, что \(EC = DE\). Подставим это в выражение для \(BE\): \(BE = BC — DE\).
Теперь подставим известные значения и полученное выражение для \(BE\) в соотношение сторон:
\(\frac{16}{DE} = \frac{24}{24 — DE}\).
Для решения этого уравнения перемножим крест-накрест:
\(16 \times (24 — DE) = 24 \times DE\).
Раскроем скобки в левой части уравнения:
\(384 — 16DE = 24DE\).
Перенесем все члены, содержащие \(DE\), в одну сторону уравнения:
\(384 = 24DE + 16DE\).
Сложим члены с \(DE\):
\(384 = 40DE\).
Чтобы найти \(DE\), разделим обе части уравнения на \(40\):
\(DE = \frac{384}{40}\).
Выполним деление:
\(DE = 9.6\).
Таким образом, длина отрезка \(DE\) составляет \(9.6\) см.
