ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 174 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) \( 1080^\circ \);

2) \( 1200^\circ \)?

Краткий ответ:

1) \(S_n = 1080^\circ\);
\((n-2) \cdot 180^\circ = 1080^\circ\);
\(n-2 = \frac{1080}{180}\);
\(n-2 = 6\);
\(n = 8 \in N\);
Ответ: да.

2) \(S_n = 1200^\circ\);
\((n-2) \cdot 180^\circ = 1200^\circ\);
\(n-2 = \frac{1200}{180}\);
\(n-2 = \frac{20}{3}\);
\(n = \frac{20}{3} + 2\);
\(n = \frac{20}{3} + \frac{6}{3}\);
\(n = \frac{26}{3}\);
\(n = 8\frac{2}{3} \notin N\);
Ответ: нет.

Подробный ответ:

Для того чтобы определить, существует ли выпуклый многоугольник с заданной суммой углов, необходимо использовать формулу для суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. Эта формула выглядит следующим образом: \(S_n = (n-2) \cdot 180^\circ\), где \(S_n\) представляет собой сумму углов многоугольника, а \(n\) — количество его сторон. Важно помнить, что количество сторон \(n\) должно быть целым числом, большим или равным трем, то есть \(n \in \mathbb{N}\) и \(n \ge 3\).

Рассмотрим первый случай, когда сумма углов многоугольника равна \(1080^\circ\). Подставим это значение в формулу: \((n-2) \cdot 180^\circ = 1080^\circ\). Для того чтобы найти значение \(n\), необходимо разделить обе части уравнения на \(180^\circ\). Таким образом, получаем: \(n-2 = \frac{1080}{180}\). Выполнив деление, находим, что \(n-2 = 6\). Теперь, чтобы найти \(n\), прибавим 2 к обеим частям уравнения: \(n = 6 + 2\), что дает \(n = 8\). Поскольку \(n=8\) является целым числом и удовлетворяет условию \(n \ge 3\), можно сделать вывод, что такой выпуклый многоугольник, а именно восьмиугольник, существует.

Теперь рассмотрим второй случай, когда сумма углов многоугольника равна \(1200^\circ\). Аналогично первому случаю, подставим это значение в формулу: \((n-2) \cdot 180^\circ = 1200^\circ\). Разделим обе части уравнения на \(180^\circ\): \(n-2 = \frac{1200}{180}\). Упростив дробь, получаем: \(n-2 = \frac{20}{3}\). Чтобы найти \(n\), прибавим 2 к обеим частям уравнения: \(n = \frac{20}{3} + 2\). Чтобы сложить эти числа, приведем 2 к общему знаменателю 3: \(n = \frac{20}{3} + \frac{6}{3}\). Теперь сложим дроби: \(n = \frac{26}{3}\). Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(n = 8\frac{2}{3}\). Поскольку полученное значение \(n = 8\frac{2}{3}\) не является целым числом, это означает, что выпуклый многоугольник с такой суммой углов не существует. Количество сторон многоугольника всегда должно быть целым числом.

Оцени решение