ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 175 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен:

1) \( 72^\circ \);

2) \( 171^\circ \)?

1) \(a = 72^\circ\)
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 72^\circ\)
Разделим обе части на \(36^\circ\):
\((n-2) \cdot 5 = n \cdot 2\)
\(5n — 10 = 2n\)
\(5n — 2n = 10\)
\(3n = 10\)
\(n = \frac{10}{3}\)
Так как \(n\) не является целым числом, то такого многоугольника нет.
Ответ: нет.

2) \(a = 171^\circ\)
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 171^\circ\)
Разделим обе части на \(9^\circ\):
\((n-2) \cdot 20 = n \cdot 19\)
\(20n — 40 = 19n\)
\(20n — 19n = 40\)
\(n = 40\)
Так как \(n\) является целым числом, то такой многоугольник есть.
Ответ: да.

Для определения, существует ли правильный выпуклый многоугольник с заданным значением каждого угла, используется формула для нахождения величины одного внутреннего угла правильного n-угольника: \(A = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\), где \(A\) — это величина одного внутреннего угла, а \(n\) — количество сторон многоугольника. Для того чтобы многоугольник существовал, \(n\) должно быть целым числом, большим или равным 3.

Рассмотрим первый случай, когда каждый угол равен \(72^\circ\). Подставим это значение в формулу:
\(72^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).
Для того чтобы решить это уравнение относительно \(n\), умножим обе части уравнения на \(n\):
\(72^\circ \cdot n = (n-2) \cdot 180^\circ\).
Раскроем скобки в правой части уравнения:
\(72^\circ \cdot n = 180^\circ \cdot n — 360^\circ\).
Перенесем все члены, содержащие \(n\), в одну сторону уравнения, а константы — в другую. Вычтем \(180^\circ \cdot n\) из обеих частей:
\(72^\circ \cdot n — 180^\circ \cdot n = -360^\circ\).
Выполним вычитание:
\(-108^\circ \cdot n = -360^\circ\).
Разделим обе части на \(-108^\circ\), чтобы найти значение \(n\):
\(n = \frac{-360^\circ}{-108^\circ}\).
Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен \(36\):
\(n = \frac{10}{3}\).
Поскольку \(n = \frac{10}{3}\) не является целым числом, то не существует правильного выпуклого многоугольника, каждый угол которого равен \(72^\circ\).
Ответ: нет.

Рассмотрим второй случай, когда каждый угол равен \(171^\circ\). Подставим это значение в формулу:
\(171^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).
Для того чтобы решить это уравнение относительно \(n\), умножим обе части уравнения на \(n\):
\(171^\circ \cdot n = (n-2) \cdot 180^\circ\).
Раскроем скобки в правой части уравнения:
\(171^\circ \cdot n = 180^\circ \cdot n — 360^\circ\).
Перенесем все члены, содержащие \(n\), в одну сторону уравнения, а константы — в другую. Вычтем \(180^\circ \cdot n\) из обеих частей:
\(171^\circ \cdot n — 180^\circ \cdot n = -360^\circ\).
Выполним вычитание:
\(-9^\circ \cdot n = -360^\circ\).
Разделим обе части на \(-9^\circ\), чтобы найти значение \(n\):
\(n = \frac{-360^\circ}{-9^\circ}\).
Выполним деление:
\(n = 40\).
Поскольку \(n = 40\) является целым числом и \(n \ge 3\), то существует правильный выпуклый многоугольник с 40 сторонами, каждый угол которого равен \(171^\circ\).
Ответ: да.