ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 176 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):
1) если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны;
2) если все углы многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его стороны также равны;
3) если все стороны многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его углы также равны;
4) если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны?
1) Если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы тоже равны. Ответ: да. Это утверждение верно, так как такой многоугольник является правильным, а у правильного многоугольника все углы равны.
2) Если все углы многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его стороны равны. Ответ: нет. Например, прямоугольник \(ABCD\) с неравными сторонами \(AB \ne BC\) можно вписать в окружность, и все его углы будут равны \(90^\circ\), но стороны не будут равны.
3) Если все стороны многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его углы равны. Ответ: да. Это утверждение верно, так как такой многоугольник является правильным, а у правильного многоугольника все углы равны.
4) Если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны. Ответ: да. Это утверждение верно, так как такой многоугольник является правильным, а у правильного многоугольника все стороны равны.
1) Если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы тоже равны. Ответ: да.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Если все стороны такого многоугольника равны, то он является равносторонним. Вписанный равносторонний многоугольник всегда является правильным многоугольником. Например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и так далее. По определению правильного многоугольника, у него не только все стороны равны, но и все углы равны. Таким образом, если многоугольник вписан в окружность и все его стороны равны, то он является правильным многоугольником, и, следовательно, все его углы также будут равны.
2) Если все углы многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его стороны равны. Ответ: нет.
Рассмотрим многоугольник, у которого все углы равны, и который вписан в окружность. Такой многоугольник называется равноугольным. В качестве контрпримера можно привести прямоугольник, который не является квадратом. Все углы прямоугольника равны \(90^\circ\). Любой прямоугольник можно вписать в окружность, при этом его диагонали будут являться диаметрами этой окружности. Однако, если стороны прямоугольника не равны, например, одна сторона имеет длину \(a\) и другая \(b\), где \(a \ne b\), то не все его стороны будут равны, хотя все его углы равны. Например, прямоугольник со сторонами \(3\) см и \(5\) см имеет все углы по \(90^\circ\), его можно вписать в окружность, но его стороны не равны. Это опровергает данное утверждение.
3) Если все стороны многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его углы равны. Ответ: да.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Если все стороны такого многоугольника равны, то он является равносторонним. Описанный равносторонний многоугольник всегда является правильным многоугольником. Например, если ромб описан около окружности, то для того чтобы все его углы были равны, он должен быть квадратом. В общем случае, если многоугольник описан около окружности и все его стороны равны, то он является правильным многоугольником. У правильного многоугольника, по определению, все углы также равны.
4) Если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны. Ответ: да.
Рассмотрим многоугольник, у которого все углы равны, и который описан около окружности. Такой многоугольник называется равноугольным. Если многоугольник описан около окружности и все его углы равны, то он является правильным многоугольником. Например, если четырехугольник описан около окружности и все его углы равны \(90^\circ\), то это означает, что он является прямоугольником. Для того чтобы прямоугольник был описан около окружности, он должен быть квадратом. У квадрата все стороны равны. В более общем случае, любой равноугольный многоугольник, описанный около окружности, является правильным многоугольником, а у правильного многоугольника все стороны равны.
