ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 178 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см. Постройте вписанный в эту окружность:
1) правильный четырёхугольник;
2) правильный восьмиугольник.
Начертите окружность с центром в точке \(O\).
Для построения правильного четырёхугольника:
Проведите два взаимно перпендикулярных диаметра через центр \(O\). Обозначьте их концы на окружности как \(A_1, A_3\) и \(A_2, A_4\). Соедините последовательно точки \(A_1, A_2, A_3, A_4\).
Для построения правильного восьмиугольника:
Используйте вершины построенного квадрата \(A_1, A_2, A_3, A_4\). Разделите каждую из четырёх дуг, образованных вершинами квадрата, пополам. Для этого проведите дополнительные диаметры, биссектрисы углов, образованных перпендикулярными диаметрами квадрата. Эти новые диаметры пересекут окружность в четырёх новых точках. Вместе с вершинами квадрата получите восемь точек на окружности. Соедините все восемь точек последовательно отрезками.
Начертите окружность с центром в точке \(O\).
Для построения правильного четырёхугольника:
Проведите через центр \(O\) первый диаметр. Обозначьте его концы на окружности как \(A_1\) и \(A_3\).
Постройте второй диаметр, проходящий через центр \(O\) и перпендикулярный первому диаметру. Обозначьте его концы на окружности как \(A_2\) и \(A_4\). Таким образом, \(O \in A_1A_3\), \(O \in A_2A_4\), и \(A_1A_3 \perp A_2A_4\).
Соедините последовательно точки \(A_1, A_2, A_3, A_4\) отрезками. Полученный многоугольник \(A_1A_2A_3A_4\) является правильным четырёхугольником, то есть квадратом, вписанным в окружность.
Для построения правильного восьмиугольника:
Используйте уже построенный квадрат \(A_1A_2A_3A_4\). Вершины \(A_1, A_3\) и \(A_2, A_4\) соответствуют точкам на окружности, которые образуют центральные углы по \(90^\circ\).
Для получения правильного восьмиугольника необходимо разделить окружность на восемь равных частей. Каждая часть будет соответствовать центральному углу \(\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ\).
Найдите середины дуг, образованных вершинами квадрата. Для этого проведите дополнительные диаметры, которые делят пополам углы между уже существующими диаметрами \(A_1A_3\) и \(A_2A_4\). Например, биссектриса угла \(\angle A_1OA_2\) пересечет окружность в новой точке \(A_2\), биссектриса угла \(\angle A_2OA_3\) в точке \(A_4\), и так далее, если переименовать вершины квадрата как \(A_1, A_3, A_5, A_7\).
Если использовать обозначения с рисунка, где \(A_1, A_3, A_5, A_7\) — вершины квадрата, а \(A_2, A_4, A_6, A_8\) — новые вершины:
Точки \(A_1, A_3, A_5, A_7\) уже известны как вершины квадрата.
Постройте биссектрису угла \(\angle A_1OA_3\). Она пересечет окружность в точках \(A_2\) и \(A_6\).
Постройте биссектрису угла \(\angle A_3OA_5\). Она пересечет окружность в точках \(A_4\) и \(A_8\).
Теперь у вас есть восемь точек на окружности: \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8\).
Соедините эти восемь точек последовательно отрезками. Полученный многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8\) является правильным восьмиугольником, вписанным в окружность.
