ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) \[
\frac{\sin 28^\circ}{\sin 152^\circ}
\]

2) \[
\frac{\cos 49^\circ}{\cos 131^\circ}
\]

3) \[
\frac{\tan 12^\circ}{\tan 168^\circ}
\]

Краткий ответ:

1) \(\frac{\sin 28^\circ}{\sin 152^\circ} = \frac{\sin 28^\circ}{\sin (180^\circ — 28^\circ)} = \frac{\sin 28^\circ}{\sin 28^\circ} = 1\)

2) \(\frac{\cos 49^\circ}{\cos 131^\circ} = \frac{\cos 49^\circ}{\cos (180^\circ — 49^\circ)} = \frac{\cos 49^\circ}{-\cos 49^\circ} = -1\)

3) \(\frac{\tan 12^\circ}{\tan 168^\circ} = \frac{\tan 12^\circ}{\tan (180^\circ — 12^\circ)} = \frac{\tan 12^\circ}{-\tan 12^\circ} = -1\)

Подробный ответ:

Рассмотрим первое выражение \(\frac{\sin 28^\circ}{\sin 152^\circ}\). Вспомним, что синус угла в тригонометрии обладает свойством: \(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\). Это означает, что если мы возьмём угол, который является дополнением до 180 градусов, то синус этого угла будет равен синусу исходного угла. В нашем случае угол \(152^\circ\) можно представить как \(180^\circ — 28^\circ\). Следовательно, \(\sin 152^\circ = \sin (180^\circ — 28^\circ) = \sin 28^\circ\). Подставляя это в исходное выражение, получаем \(\frac{\sin 28^\circ}{\sin 28^\circ} = 1\). Таким образом, значение первого выражения равно 1.

Теперь перейдём ко второму выражению \(\frac{\cos 49^\circ}{\cos 131^\circ}\). Для косинуса действует другое важное свойство: \(\cos (180^\circ — \alpha) = -\cos \alpha\). Это значит, что косинус угла, дополненного до 180 градусов, равен минус косинусу исходного угла. Угол \(131^\circ\) можно записать как \(180^\circ — 49^\circ\). Следовательно, \(\cos 131^\circ = \cos (180^\circ — 49^\circ) = -\cos 49^\circ\). Подставим это в дробь: \(\frac{\cos 49^\circ}{\cos 131^\circ} = \frac{\cos 49^\circ}{-\cos 49^\circ} = -1\). Значит, второе выражение равно -1.

Рассмотрим теперь третье выражение \(\frac{\tan 12^\circ}{\tan 168^\circ}\). Тангенс также имеет своё свойство: \(\tan (180^\circ — \alpha) = -\tan \alpha\). Это значит, что тангенс угла, дополненного до 180 градусов, равен минус тангенсу исходного угла. Угол \(168^\circ\) можно представить как \(180^\circ — 12^\circ\). Значит, \(\tan 168^\circ = \tan (180^\circ — 12^\circ) = -\tan 12^\circ\). Подставляя в исходную дробь, получаем \(\frac{\tan 12^\circ}{\tan 168^\circ} = \frac{\tan 12^\circ}{-\tan 12^\circ} = -1\). Следовательно, третье выражение равно -1.

Оцени решение