ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 182 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен: 1) \(90^\circ\); 2) \(108^\circ\)?

Краткий ответ:

1) \(a = 90^\circ\);
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 90^\circ\);
Разделим обе части на \(180^\circ\):
\(n-2 = n \cdot \frac{90}{180}\);
\(n-2 = n \cdot \frac{1}{2}\);
\(n-2 = \frac{1}{2}n\);
Вычтем \(\frac{1}{2}n\) из обеих частей:
\(n — \frac{1}{2}n — 2 = 0\);
\(\frac{1}{2}n — 2 = 0\);
Прибавим 2 к обеим частям:
\(\frac{1}{2}n = 2\);
Умножим обе части на 2:
\(n = 4\);
Ответ: 4.

2) \(a = 108^\circ\);
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 108^\circ\);
Разделим обе части на \(180^\circ\):
\(n-2 = n \cdot \frac{108}{180}\);
\(n-2 = n \cdot \frac{3 \cdot 36}{5 \cdot 36}\);
\(n-2 = n \cdot \frac{3}{5}\);
\(n-2 = \frac{3}{5}n\);
Вычтем \(\frac{3}{5}n\) из обеих частей:
\(n — \frac{3}{5}n — 2 = 0\);
\(\frac{5n — 3n}{5} — 2 = 0\);
\(\frac{2n}{5} — 2 = 0\);
Прибавим 2 к обеим частям:
\(\frac{2n}{5} = 2\);
Умножим обе части на 5:
\(2n = 10\);
Разделим обе части на 2:
\(n = 5\);
Ответ: 5.

Подробный ответ:

Для определения количества сторон \(n\) правильного многоугольника, зная величину его внутреннего угла \(a\), используется формула: \(a = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).

Рассмотрим первый случай, когда внутренний угол равен \(90^\circ\).
Подставим значение угла в формулу: \(90^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(n\): \(90^\circ \cdot n = (n-2) \cdot 180^\circ\).
Разделим обе части уравнения на \(90^\circ\): \(\frac{90^\circ \cdot n}{90^\circ} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{90^\circ}\).
Упростим выражение: \(n = (n-2) \cdot 2\).
Раскроем скобки в правой части уравнения: \(n = 2n — 4\).
Перенесем все члены, содержащие \(n\), в одну сторону, а свободные члены — в другую. Вычтем \(n\) из обеих частей: \(0 = 2n — n — 4\).
Упростим: \(0 = n — 4\).
Прибавим 4 к обеим частям уравнения: \(4 = n\).
Таким образом, правильный многоугольник с внутренним углом \(90^\circ\) имеет 4 стороны.

Рассмотрим второй случай, когда внутренний угол равен \(108^\circ\).
Подставим значение угла в формулу: \(108^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).
Умножим обе части уравнения на \(n\): \(108^\circ \cdot n = (n-2) \cdot 180^\circ\).
Для упрощения, разделим обе части уравнения на общий делитель \(36^\circ\): \(\frac{108^\circ \cdot n}{36^\circ} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{36^\circ}\).
Упростим выражение: \(3n = (n-2) \cdot 5\).
Раскроем скобки в правой части уравнения: \(3n = 5n — 10\).
Перенесем все члены, содержащие \(n\), в одну сторону. Вычтем \(3n\) из обеих частей: \(0 = 5n — 3n — 10\).
Упростим: \(0 = 2n — 10\).
Прибавим 10 к обеим частям уравнения: \(10 = 2n\).
Разделим обе части уравнения на 2: \(\frac{10}{2} = \frac{2n}{2}\).
Упростим: \(5 = n\).
Таким образом, правильный многоугольник с внутренним углом \(108^\circ\) имеет 5 сторон.

Оцени решение