ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 183 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен: 1) \(140^\circ\); 2) \(130^\circ\)?

1) \(a = 140^\circ\);
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 140^\circ\);
\(180n — 360 = 140n\);
\(40n = 360\);
\(n = 9\);
Ответ: да.

2) \(a = 130^\circ\);
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 130^\circ\);
\(180n — 360 = 130n\);
\(50n = 360\);
\(n = \frac{360}{50} = 7.2\);
Ответ: нет.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для вычисления величины внутреннего угла правильного многоугольника. Величина каждого внутреннего угла \(a\) правильного многоугольника с \(n\) сторонами определяется формулой: \(a = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).

Рассмотрим первый случай, когда величина внутреннего угла \(a = 140^\circ\).
Подставим данное значение в формулу: \(140^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(n\): \(140n = (n-2) \cdot 180\).
Раскроем скобки в правой части уравнения: \(140n = 180n — 360\).
Теперь перенесем все члены с \(n\) в одну сторону уравнения, а числовые константы в другую. Вычтем \(180n\) из обеих частей уравнения: \(140n — 180n = -360\).
Это упрощается до: \(-40n = -360\).
Чтобы найти значение \(n\), разделим обе части уравнения на \(-40\): \(n = \frac{-360}{-40}\).
В результате получаем: \(n = 9\).
Так как \(n=9\) является целым положительным числом, и \(n \ge 3\), то такой выпуклый многоугольник (правильный девятиугольник) существует.
Ответ: да.

Рассмотрим второй случай, когда величина внутреннего угла \(a = 130^\circ\).
Подставим данное значение в формулу: \(130^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).
Умножим обе части уравнения на \(n\): \(130n = (n-2) \cdot 180\).
Раскроем скобки в правой части уравнения: \(130n = 180n — 360\).
Перенесем все члены с \(n\) в одну сторону уравнения. Вычтем \(180n\) из обеих частей уравнения: \(130n — 180n = -360\).
Это упрощается до: \(-50n = -360\).
Чтобы найти значение \(n\), разделим обе части уравнения на \(-50\): \(n = \frac{-360}{-50}\).
В результате получаем: \(n = \frac{36}{5}\), что равно \(n = 7.2\).
Поскольку количество сторон многоугольника \(n\) должно быть целым числом, а в данном случае \(n=7.2\) не является целым числом, такой выпуклый многоугольник не существует.
Ответ: нет.