ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 184 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет \(\frac{1}{9}\) угла многоугольника?

Пусть \(\alpha\) — внутренний угол многоугольника, а \(\beta\) — смежный с ним угол. По условию, \(\beta = \frac{1}{9}\alpha\). Так как \(\alpha\) и \(\beta\) смежные углы, их сумма равна \(180^\circ\), то есть \(\alpha + \beta = 180^\circ\). Подставляя \(\beta\), получаем \(\alpha + \frac{1}{9}\alpha = 180^\circ\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{9\alpha + \alpha}{9} = 180^\circ\), что дает \(\frac{10\alpha}{9} = 180^\circ\). Отсюда \(\alpha = \frac{180^\circ \cdot 9}{10} = 18^\circ \cdot 9 = 162^\circ\).

Формула для нахождения внутреннего угла правильного многоугольника с \(n\) сторонами: \(\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\). Подставляем найденное значение \(\alpha\): \(162^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\). Умножаем обе части на \(n\): \(162n = (n-2) \cdot 180\). Раскрываем скобки: \(162n = 180n — 360\). Переносим члены с \(n\) в одну сторону: \(360 = 180n — 162n\), что дает \(360 = 18n\). Делим обе части на 18: \(n = \frac{360}{18} = 20\).

Пусть \(\alpha\) представляет собой величину внутреннего угла правильного многоугольника. Известно, что для любого многоугольника сумма внутреннего угла и смежного с ним внешнего угла всегда равна \(180^\circ\). Обозначим смежный угол как \(\beta\). Таким образом, мы можем записать первое уравнение: \(\alpha + \beta = 180^\circ\).

Согласно условию задачи, угол, смежный с углом многоугольника, составляет \(\frac{1}{9}\) от величины самого угла многоугольника. Это можно выразить вторым уравнением: \(\beta = \frac{1}{9}\alpha\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Для того чтобы найти величину внутреннего угла \(\alpha\), мы можем подставить выражение для \(\beta\) из второго уравнения в первое. Подставляя \(\frac{1}{9}\alpha\) вместо \(\beta\) в уравнение \(\alpha + \beta = 180^\circ\), получаем: \(\alpha + \frac{1}{9}\alpha = 180^\circ\).

Для решения этого уравнения необходимо привести подобные члены. Угол \(\alpha\) можно представить как \(\frac{9}{9}\alpha\). Тогда уравнение примет вид: \(\frac{9}{9}\alpha + \frac{1}{9}\alpha = 180^\circ\). Сложив дроби, получаем: \(\frac{10}{9}\alpha = 180^\circ\).

Чтобы найти \(\alpha\), мы должны умножить обе стороны уравнения на обратную дробь к \(\frac{10}{9}\), то есть на \(\frac{9}{10}\). Таким образом, \(\alpha = 180^\circ \cdot \frac{9}{10}\). Выполняя умножение, получаем \(\alpha = \frac{180 \cdot 9}{10} = 18 \cdot 9 = 162^\circ\). Следовательно, внутренний угол правильного многоугольника равен \(162^\circ\).

Теперь, когда мы знаем величину внутреннего угла, мы можем использовать формулу для определения количества сторон \(n\) правильного многоугольника. Формула для внутреннего угла \(\alpha\) правильного многоугольника с \(n\) сторонами выглядит следующим образом: \(\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).

Подставим найденное значение \(\alpha = 162^\circ\) в эту формулу: \(162^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\). Чтобы избавиться от знаменателя \(n\), умножим обе части уравнения на \(n\): \(162n = (n-2) \cdot 180\).

Далее, раскроем скобки в правой части уравнения, умножив \(180\) на каждый член внутри скобок: \(162n = 180n — 360\).

Теперь необходимо собрать все члены с \(n\) на одной стороне уравнения, а константы — на другой. Вычтем \(162n\) из обеих частей уравнения: \(0 = 180n — 162n — 360\). Упрощая правую часть, получаем: \(0 = 18n — 360\).

Чтобы найти \(n\), перенесем константу \(360\) в левую часть уравнения: \(360 = 18n\). Наконец, разделим обе части уравнения на \(18\): \(n = \frac{360}{18}\). Выполнив деление, получаем \(n = 20\).

Таким образом, правильный многоугольник, удовлетворяющий условиям задачи, имеет 20 сторон.