ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 185 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Определите количество сторон правильного многоугольника, если его угол на \(168^\circ\) больше смежного с ним угла.

Пусть \(\alpha\) — угол многоугольника, а \(\beta\) — смежный угол.
\(\beta = \alpha — 168^\circ\).
Так как \(\alpha + \beta = 180^\circ\), то \(\alpha + (\alpha — 168^\circ) = 180^\circ\).
\(2\alpha — 168^\circ = 180^\circ\).
\(2\alpha = 348^\circ\).
\(\alpha = \frac{348^\circ}{2} = 174^\circ\).

Формула для угла правильного многоугольника: \(\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).
Подставляем \(\alpha = 174^\circ\):
\(174^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\).
\(174n = (n-2) \cdot 180\).
Разделим обе части на \(180\):
\(\frac{174n}{180} = n-2\).
\(\frac{29}{30}n = n-2\).
\(n — \frac{29}{30}n = 2\).
\(\frac{1}{30}n = 2\).
\(n = 2 \cdot 30\).
\(n = 60\).

Пусть \( \alpha \) обозначает величину внутреннего угла правильного многоугольника. Пусть \( \beta \) обозначает величину смежного с ним угла, который в контексте правильного многоугольника является внешним углом.

Известно, что сумма внутреннего и внешнего угла при одной вершине многоугольника всегда равна \(180^\circ\). Таким образом, мы можем записать первое уравнение:
\( \alpha + \beta = 180^\circ \)

Согласно условию задачи, внутренний угол \( \alpha \) на \(168^\circ\) больше смежного с ним угла \( \beta \). Это дает нам второе уравнение:
\( \alpha = \beta + 168^\circ \)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными \( \alpha \) и \( \beta \). Мы можем решить эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим \( \beta \):
\( \beta = \alpha — 168^\circ \)

Подставим это выражение для \( \beta \) в первое уравнение:
\( \alpha + (\alpha — 168^\circ) = 180^\circ \)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\( 2\alpha — 168^\circ = 180^\circ \)

Чтобы найти значение \( \alpha \), сначала перенесем константу \(168^\circ\) в правую часть уравнения, изменив ее знак:
\( 2\alpha = 180^\circ + 168^\circ \)
\( 2\alpha = 348^\circ \)

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти значение \( \alpha \):
\( \alpha = \frac{348^\circ}{2} \)
\( \alpha = 174^\circ \)

Итак, величина внутреннего угла правильного многоугольника составляет \(174^\circ\).

Теперь, когда мы знаем величину внутреннего угла, мы можем использовать формулу для нахождения числа сторон \( n \) правильного многоугольника. Формула для величины внутреннего угла \( \alpha \) правильного \( n \)-угольника выглядит следующим образом:
\( \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)

Подставим найденное значение \( \alpha = 174^\circ \) в эту формулу:
\( 174^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)

Чтобы избавиться от знаменателя \( n \), умножим обе части уравнения на \( n \):
\( 174n = (n-2) \cdot 180 \)

Раскроем скобки в правой части уравнения, умножив \(180\) на каждый член в скобках:
\( 174n = 180n — 360 \)

Теперь соберем все члены, содержащие \( n \), на одной стороне уравнения, а постоянные члены — на другой. Вычтем \( 174n \) из обеих частей уравнения:
\( 0 = 180n — 174n — 360 \)
\( 0 = 6n — 360 \)

Перенесем постоянный член \( -360 \) в левую часть уравнения, изменив его знак:
\( 360 = 6n \)

Наконец, разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти значение \( n \):
\( n = \frac{360}{6} \)
\( n = 60 \)

Таким образом, количество сторон правильного многоугольника равно 60.