ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 186 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, вписанный в окружность, если градусная мера дуги описанной окружности, которую стягивает сторона многоугольника, равна: 1) \(90^\circ\); 2) \(24^\circ\)?

1) \(\beta = 90^\circ\);
\(\alpha = 180^\circ — 90^\circ = 90^\circ\);
\(S_n = (n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 90^\circ\);
\(n-2 = \frac{1}{2}n\), \(\frac{1}{2}n = 2\), \(n = 4\);
Ответ: 4.

2) \(\beta = 24^\circ\);
\(\alpha = 180^\circ — 24^\circ = 156^\circ\);
\(S_n = (n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 156^\circ\);
\(n-2 = \frac{13}{15}n\), \(\frac{2}{15}n = 2\), \(n = 15\);
Ответ: 15.

Рассмотрим первый случай, когда градусная мера дуги, стягиваемой стороной правильного многоугольника, составляет \(90^\circ\).

Для правильного многоугольника, вписанного в окружность, градусная мера дуги, которую стягивает каждая сторона, соответствует центральному углу, опирающемуся на эту сторону. Этот центральный угол также равен внешнему углу правильного многоугольника. Обозначим его как \(\beta\). В данном случае \(\beta = 90^\circ\).

Внутренний угол \(\alpha\) правильного многоугольника связан с внешним углом \(\beta\) соотношением \(\alpha = 180^\circ — \beta\).
Подставляя значение \(\beta = 90^\circ\), получаем:
\(\alpha = 180^\circ — 90^\circ = 90^\circ\).

Сумма внутренних углов любого n-угольника определяется формулой \(S_n = (n-2) \cdot 180^\circ\), где \(n\) — количество сторон многоугольника.

Для правильного многоугольника все внутренние углы равны, поэтому сумма внутренних углов также может быть выражена как произведение количества сторон на величину одного внутреннего угла: \(S_n = n \cdot \alpha\).

Приравниваем два выражения для суммы внутренних углов:
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot \alpha\).
Подставляем найденное значение \(\alpha = 90^\circ\):
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 90^\circ\).

Разделим обе части уравнения на \(90^\circ\):
\((n-2) \cdot \frac{180^\circ}{90^\circ} = n \cdot \frac{90^\circ}{90^\circ}\).
\((n-2) \cdot 2 = n \cdot 1\).
\(2n — 4 = n\).

Вычтем \(n\) из обеих частей уравнения:
\(2n — n — 4 = 0\).
\(n — 4 = 0\).

Прибавим 4 к обеим частям уравнения:
\(n = 4\).
Таким образом, в первом случае многоугольник имеет 4 стороны, то есть является квадратом.

Теперь рассмотрим второй случай, когда градусная мера дуги, стягиваемой стороной правильного многоугольника, составляет \(24^\circ\).

Аналогично первому случаю, центральный угол (или внешний угол) \(\beta = 24^\circ\).

Вычислим внутренний угол \(\alpha\):
\(\alpha = 180^\circ — \beta\).
Подставляя значение \(\beta = 24^\circ\), получаем:
\(\alpha = 180^\circ — 24^\circ = 156^\circ\).

Используем формулы для суммы внутренних углов:
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot \alpha\).
Подставляем найденное значение \(\alpha = 156^\circ\):
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 156^\circ\).

Разделим обе части уравнения на общий делитель \(180^\circ\) и \(156^\circ\). Наибольший общий делитель для 180 и 156 равен 12.
Разделим обе части уравнения на \(12^\circ\):
\((n-2) \cdot \frac{180^\circ}{12^\circ} = n \cdot \frac{156^\circ}{12^\circ}\).
\((n-2) \cdot 15 = n \cdot 13\).
\(15n — 30 = 13n\).

Вычтем \(13n\) из обеих частей уравнения:
\(15n — 13n — 30 = 0\).
\(2n — 30 = 0\).

Прибавим 30 к обеим частям уравнения:
\(2n = 30\).

Разделим обе части уравнения на 2:
\(n = \frac{30}{2}\).
\(n = 15\).
Таким образом, во втором случае многоугольник имеет 15 сторон.