ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 187 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите количество сторон правильного многоугольника, центральный угол которого равен: 1) \(120^\circ\); 2) \(72^\circ\).

1) \(\beta = 120^\circ\);
\(\alpha = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\);
\(S_n = (n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 60^\circ\);
\(n-2 = \frac{1}{3}n\), \(\frac{2}{3}n = 2\), \(n = 3\);
Ответ: 3.

2) \(\beta = 72^\circ\);
\(\alpha = 180^\circ — 72^\circ = 108^\circ\);
\(S_n = (n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 108^\circ\);
\(n-2 = \frac{3}{5}n\), \(\frac{2}{5}n = 2\), \(n = 5\);
Ответ: 5.

1) Дано: центральный угол \(\beta = 120^\circ\).

Для правильного многоугольника центральный угол равен внешнему углу. Сумма внутреннего угла \(\alpha\) и внешнего угла (который в данном случае равен центральному углу \(\beta\)) составляет \(180^\circ\).
Следовательно, внутренний угол \(\alpha\) равен:
\(\alpha = 180^\circ — \beta\)
\(\alpha = 180^\circ — 120^\circ\)
\(\alpha = 60^\circ\)

Сумма всех внутренних углов \(S_n\) правильного n-угольника может быть выражена двумя способами:
1. Через количество сторон \(n\): \(S_n = (n-2) \cdot 180^\circ\)
2. Через количество сторон \(n\) и величину одного внутреннего угла \(\alpha\): \(S_n = n \cdot \alpha\)

Приравниваем эти два выражения для \(S_n\):
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot \alpha\)

Подставляем найденное значение \(\alpha = 60^\circ\):
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 60^\circ\)

Разделим обе части уравнения на \(180^\circ\):
\(\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{180^\circ} = \frac{n \cdot 60^\circ}{180^\circ}\)
\(n-2 = n \cdot \frac{60}{180}\)
\(n-2 = n \cdot \frac{1}{3}\)
\(n-2 = \frac{1}{3}n\)

Перенесем члены с \(n\) в одну сторону, а константы в другую:
\(n — \frac{1}{3}n = 2\)

Приведем левую часть к общему знаменателю:
\(\frac{3n}{3} — \frac{n}{3} = 2\)
\(\frac{3n — n}{3} = 2\)
\(\frac{2n}{3} = 2\)

Умножим обе части уравнения на 3:
\(2n = 2 \cdot 3\)
\(2n = 6\)

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти \(n\):
\(n = \frac{6}{2}\)
\(n = 3\)
Ответ: 3.

2) Дано: центральный угол \(\beta = 72^\circ\).

Аналогично первому случаю, найдем внутренний угол \(\alpha\):
\(\alpha = 180^\circ — \beta\)
\(\alpha = 180^\circ — 72^\circ\)
\(\alpha = 108^\circ\)

Приравниваем выражения для суммы внутренних углов \(S_n\):
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot \alpha\)

Подставляем найденное значение \(\alpha = 108^\circ\):
\((n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 108^\circ\)

Разделим обе части уравнения на \(180^\circ\):
\(\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{180^\circ} = \frac{n \cdot 108^\circ}{180^\circ}\)
\(n-2 = n \cdot \frac{108}{180}\)

Сократим дробь \(\frac{108}{180}\). Наибольший общий делитель для 108 и 180 равен 36.
\(108 = 3 \cdot 36\)
\(180 = 5 \cdot 36\)
Значит, \(\frac{108}{180} = \frac{3}{5}\).

Подставляем сокращенную дробь в уравнение:
\(n-2 = n \cdot \frac{3}{5}\)
\(n-2 = \frac{3}{5}n\)

Перенесем члены с \(n\) в одну сторону, а константы в другую:
\(n — \frac{3}{5}n = 2\)

Приведем левую часть к общему знаменателю:
\(\frac{5n}{5} — \frac{3n}{5} = 2\)
\(\frac{5n — 3n}{5} = 2\)
\(\frac{2n}{5} = 2\)

Умножим обе части уравнения на 5:
\(2n = 2 \cdot 5\)
\(2n = 10\)

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти \(n\):
\(n = \frac{10}{2}\)
\(n = 5\)
Ответ: 5.