ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 188 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть \(a_3\) — сторона правильного треугольника, \(R\) и \(r\) — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (длины даны в сантиметрах):

Для правильного треугольника: \(R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}\) и \(r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}\), также \(R = 2r\).

Если \(a_3 = 6\sqrt{3}\):
\(R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\).
\(r = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3\).

Если \(R = 4\sqrt{3}\):
\(a_3 = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\).
\(r = \frac{R}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).

Если \(r = 2\):
\(a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
\(R = 2r = 2 \cdot 2 = 4\).

Для правильного треугольника (равностороннего треугольника) со стороной \(a_3\), радиус описанной окружности \(R\) и радиус вписанной окружности \(r\) связаны следующими формулами:

Радиус описанной окружности \(R\) определяется как \(R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}\). Это следует из теоремы синусов, где сторона треугольника относится к синусу противолежащего угла как диаметр описанной окружности. Для равностороннего треугольника все углы равны \(60^\circ\), поэтому \( \frac{a_3}{\sin 60^\circ} = 2R \), что приводит к \( R = \frac{a_3}{2 \sin 60^\circ} = \frac{a_3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a_3}{\sqrt{3}} \).

Радиус вписанной окружности \(r\) определяется как \(r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}\). Это можно получить, зная, что высота равностороннего треугольника \(h = a_3 \frac{\sqrt{3}}{2}\), а центр вписанной окружности (инцентр) делит высоту в отношении \(1:2\) от основания. Таким образом, \(r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot a_3 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a_3 \sqrt{3}}{6} = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}\).

Из этих формул также следует соотношение между \(R\) и \(r\): \(R = 2r\).

Теперь применим эти формулы для заполнения таблицы.

Для первой строки, где дана сторона треугольника \(a_3 = 6\sqrt{3}\):
Вычислим радиус описанной окружности \(R\):
\(R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\).
Вычислим радиус вписанной окружности \(r\):
\(r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3\).

Для второй строки, где дан радиус описанной окружности \(R = 4\sqrt{3}\):
Вычислим сторону треугольника \(a_3\). Из формулы \(R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}\) следует \(a_3 = R\sqrt{3}\).
\(a_3 = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\).
Вычислим радиус вписанной окружности \(r\). Используя соотношение \(r = \frac{R}{2}\):
\(r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).

Для третьей строки, где дан радиус вписанной окружности \(r = 2\):
Вычислим сторону треугольника \(a_3\). Из формулы \(r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}\) следует \(a_3 = 2r\sqrt{3}\).
\(a_3 = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
Вычислим радиус описанной окружности \(R\). Используя соотношение \(R = 2r\):
\(R = 2 \cdot 2 = 4\).

Итоговая таблица: