ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 189 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть \(a_4\) — сторона квадрата, \(R\) и \(r\) — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (длины даны в сантиметрах):

Для квадрата со стороной \(a_4\), радиус описанной окружности \(R\) и радиус вписанной окружности \(r\) связаны соотношениями: \(R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}\) и \(r = \frac{a_4}{2}\). Отсюда можно выразить \(a_4\): \(a_4 = 2r\) и \(a_4 = R\sqrt{2}\).

Заполняем таблицу:
Если \(a_4 = 8\):
\(R = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\)
\(r = \frac{8}{2} = 4\)

Если \(R = 4\):
\(a_4 = 4\sqrt{2}\)
\(r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

Если \(r = \sqrt{2}\):
\(a_4 = 2\sqrt{2}\)
\(R = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы, связывающие сторону квадрата \(a_4\), радиус описанной окружности \(R\) и радиус вписанной окружности \(r\). Эти формулы выводятся из геометрических свойств квадрата и его окружностей. Радиус описанной окружности для квадрата равен половине длины его диагонали, а диагональ квадрата со стороной \(a_4\) равна \(a_4\sqrt{2}\). Таким образом, \(R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}\). Радиус вписанной окружности для квадрата равен половине его стороны, то есть \(r = \frac{a_4}{2}\). Из этих соотношений также можно выразить сторону квадрата: \(a_4 = 2r\) и \(a_4 = R\sqrt{2}\).

Рассмотрим первую строку таблицы, где дана сторона квадрата \(a_4 = 8\). Используя формулу для радиуса описанной окружности, получаем \(R = \frac{8\sqrt{2}}{2}\), что упрощается до \(R = 4\sqrt{2}\). Для радиуса вписанной окружности используем формулу \(r = \frac{a_4}{2}\), подставляя значение \(a_4 = 8\), получаем \(r = \frac{8}{2}\), что равно \(r = 4\).

Переходим ко второй строке, где известен радиус описанной окружности \(R = 4\). Чтобы найти сторону квадрата \(a_4\), используем формулу \(a_4 = R\sqrt{2}\). Подставляя \(R = 4\), получаем \(a_4 = 4\sqrt{2}\). Теперь, зная сторону квадрата, можем найти радиус вписанной окружности по формуле \(r = \frac{a_4}{2}\). Подставляем \(a_4 = 4\sqrt{2}\), получаем \(r = \frac{4\sqrt{2}}{2}\), что упрощается до \(r = 2\sqrt{2}\).

Для третьей строки таблицы, где дан радиус вписанной окружности \(r = \sqrt{2}\). Сначала найдем сторону квадрата \(a_4\) с помощью формулы \(a_4 = 2r\). Подставляя \(r = \sqrt{2}\), получаем \(a_4 = 2\sqrt{2}\). Затем, используя найденное значение \(a_4\), вычислим радиус описанной окружности \(R\) по формуле \(R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}\). Подставляем \(a_4 = 2\sqrt{2}\), получаем \(R = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}\). Произведение \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\) равно \(2\), поэтому выражение становится \(R = \frac{2 \cdot 2}{2}\), что упрощается до \(R = \frac{4}{2}\), и окончательно \(R = 2\).

Таким образом, заполненная таблица выглядит следующим образом: