ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 19 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму квадратов синусов всех углов прямоугольного треугольника.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), значит \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Тогда \(\sin \beta = \cos \alpha\).

Считаем сумму:

\(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 90^\circ = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 1 = 1 + 1 = 2\).

В прямоугольном треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\). Один из углов равен \(90^\circ\), обозначим его \(\gamma = 90^\circ\). Тогда оставшиеся два угла \(\alpha\) и \(\beta\) связаны равенством \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Так как \(\beta = 90^\circ — \alpha\), то по формуле для синуса разности углов имеем \(\sin \beta = \sin (90^\circ — \alpha) = \cos \alpha\).

Теперь найдём сумму квадратов синусов всех трёх углов:

\(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma\).

Подставим выражения:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 90^\circ\).

Известно, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), а \(\sin 90^\circ = 1\), значит \(\sin^2 90^\circ = 1\).

Следовательно, сумма равна:

\(1 + 1 = 2\).