ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 190 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота правильного треугольника равна 15 см. Чему равен радиус: 1) описанной окружности; 2) вписанной окружности?

Рассмотрим \(\triangle ABC\). Так как он равносторонний и \(BH\) — высота, то \(BH\) также является медианой. Следовательно, \(CH = \frac{1}{2} AC\). Поскольку \(AC = BC\), то \(CH = \frac{1}{2} BC\).

В прямоугольном \(\triangle BHC\) по теореме Пифагора: \(BC^2 = BH^2 + CH^2\). Подставим известные значения: \(BC^2 = 15^2 + \left(\frac{1}{2} BC\right)^2\). Получаем \(BC^2 = 225 + \frac{1}{4} BC^2\). Вычитаем \(\frac{1}{4} BC^2\) из обеих частей: \(BC^2 — \frac{1}{4} BC^2 = 225\), что дает \(\frac{3}{4} BC^2 = 225\). Отсюда \(BC^2 = 225 \cdot \frac{4}{3} = 300\). Значит, \(BC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\) см. Таким образом, сторона треугольника \(a = 10\sqrt{3}\) см.

Радиус описанной окружности \(R\) для равностороннего треугольника находится по формуле \(R = \frac{a}{2 \sin 60^\circ}\). Подставим значение \(a\): \(R = \frac{10\sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10\) см.

Радиус вписанной окружности \(r\) для равностороннего треугольника находится по формуле \(r = \frac{a}{2 \tan 60^\circ}\). Подставим значение \(a\): \(r = \frac{10\sqrt{3}}{2 \tan 60^\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{10}{2} = 5\) см.

Дано: треугольник ABC — равносторонний, BH — высота треугольника, BH = 15 см.

Требуется найти: радиус описанной окружности (R) и радиус вписанной окружности (r).

Решение:

Поскольку треугольник ABC является равносторонним, его высота BH также является медианой и биссектрисой. Это означает, что точка H делит сторону AC пополам, то есть \(CH = \frac{1}{2} AC\). В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому \(AC = BC\). Следовательно, мы можем записать \(CH = \frac{1}{2} BC\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол \(\angle BHC\) равен \(90^\circ\), так как BH является высотой. Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае гипотенузой является сторона BC, а катетами — BH и CH. Таким образом, мы имеем уравнение: \(BC^2 = BH^2 + CH^2\).

Подставим известные значения в уравнение. Нам дано, что \(BH = 15\) см. Мы также выразили \(CH\) как \(\frac{1}{2} BC\). Получаем: \(BC^2 = 15^2 + \left(\frac{1}{2} BC\right)^2\).

Вычислим квадрат высоты: \(15^2 = 225\). Раскроем скобки для \(\left(\frac{1}{2} BC\right)^2\), что дает \(\frac{1}{4} BC^2\). Уравнение принимает вид: \(BC^2 = 225 + \frac{1}{4} BC^2\).

Для того чтобы найти BC, перенесем все члены, содержащие BC, в одну сторону уравнения: \(BC^2 — \frac{1}{4} BC^2 = 225\). Выполним вычитание: \(\frac{4}{4} BC^2 — \frac{1}{4} BC^2 = \frac{3}{4} BC^2\). Таким образом, уравнение становится: \(\frac{3}{4} BC^2 = 225\).

Чтобы найти \(BC^2\), умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\): \(BC^2 = 225 \times \frac{4}{3}\). Выполним умножение: \(225 \times \frac{4}{3} = (3 \times 75) \times \frac{4}{3} = 75 \times 4 = 300\). Следовательно, \(BC^2 = 300\).

Теперь найдем длину стороны BC, извлекая квадратный корень из 300: \(BC = \sqrt{300}\). Мы можем упростить \(\sqrt{300}\) как \(\sqrt{100 \times 3} = \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\) см. Таким образом, сторона равностороннего треугольника \(a = 10\sqrt{3}\) см.

Теперь найдем радиус описанной окружности (R). Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности можно найти по формуле \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Подставим значение \(a = 10\sqrt{3}\): \(R = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\). Сокращаем \(\sqrt{3}\), получаем \(R = 10\) см. Альтернативно, радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике равен \(\frac{2}{3}\) его высоты: \(R = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \times 15 = 10\) см.

Далее найдем радиус вписанной окружности (r). Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\). Подставим значение \(a = 10\sqrt{3}\): \(r = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\). Сокращаем \(\sqrt{3}\) и делим 10 на 2, получаем \(r = 5\) см. Альтернативно, радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике равен \(\frac{1}{3}\) его высоты: \(r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \times 15 = 5\) см.

Ответ: радиус описанной окружности R = 10 см, радиус вписанной окружности r = 5 см.