ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 191 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Диагональ квадрата равна \(6\sqrt{2}\) см. Чему равен радиус: 1) описанной окружности; 2) вписанной окружности?

Краткий ответ:

1. В квадрате \(ABCD\): \(OA = OB = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\); \(AC \perp BD\), \(\angle AOB = 90^{\circ}\).
2. Рассмотрим \(\triangle AOB\): \(\angle AOB = 90^{\circ}\); \(AB = \sqrt{AO^{2} + BO^{2}}\); \(AB = \sqrt{(3\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6\).
3. В квадрате \(ABCD\): \(R = \frac{AB}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\); \(r = \frac{AB}{2 \cdot 1} = 3\).
Ответ: 1) \(3\sqrt{2}\) см; 2) \(3\) см.

Подробный ответ:

1. В квадрате \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) равны и пересекаются в точке \(O\), делясь пополам. Также диагонали перпендикулярны друг другу. Дана длина диагонали \(BD = 6\sqrt{2}\) см. Поскольку точка \(O\) делит диагональ пополам, то \(OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2} BD\). Подставляя значение \(BD\), получаем \(OA = OB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) см.

2. Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Так как диагонали квадрата перпендикулярны, угол \(\angle AOB\) равен \(90^{\circ}\). Треугольник \(\triangle AOB\) является прямоугольным. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \(AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}\). Подставляем найденные значения \(AO\) и \(BO\): \(AB^{2} = (3\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2}\). Вычисляем квадраты: \((3\sqrt{2})^{2} = 3^{2} \cdot (\sqrt{2})^{2} = 9 \cdot 2 = 18\). Таким образом, \(AB^{2} = 18 + 18 = 36\). Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину стороны \(AB\): \(AB = \sqrt{36} = 6\) см. Следовательно, сторона квадрата \(a = 6\) см.

3. Радиус описанной окружности \(R\) для квадрата равен половине его диагонали. Это также расстояние от центра квадрата (точки \(O\)) до любой из его вершин. Мы уже вычислили это расстояние в пункте 1. Таким образом, \(R = OA = \frac{BD}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) см.

4. Радиус вписанной окружности \(r\) для квадрата равен половине его стороны. Это расстояние от центра квадрата (точки \(O\)) до середины любой из его сторон. Мы нашли длину стороны квадрата в пункте 2. Таким образом, \(r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.

Ответ: 1) \(3\sqrt{2}\) см; 2) \(3\) см.

Оцени решение