ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 192 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Радиус окружности равен 12 см. Найдите сторону вписанного в эту окружность правильного: 1) шестиугольника; 2) двенадцатиугольника.

Краткий ответ:

1) \(n = 6\):
\(R = 12\) см.
\(a_6 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\)
\(a_6 = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right)\)
\(a_6 = 24 \cdot \sin(30^\circ)\)
\(a_6 = 24 \cdot \frac{1}{2}\)
\(a_6 = 12\) см.

2) \(n = 12\):
\(R = 12\) см.
\(a_{12} = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\)
\(a_{12} = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{12}\right)\)
\(a_{12} = 24 \cdot \sin(15^\circ)\)
\(a_{12} = 12\sqrt{2 — \sqrt{3}}\) см.

Подробный ответ:

Для определения стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность, используется формула, которая связывает радиус окружности \(R\) и количество сторон \(n\). Эта формула выглядит следующим образом: \(a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\), где \(a_n\) — длина стороны правильного n-угольника. В данном случае, радиус окружности \(R\) задан как \(12\) см.

Рассмотрим первый случай, когда требуется найти сторону правильного шестиугольника. Для шестиугольника число сторон \(n\) равно \(6\). Подставим это значение, а также заданный радиус \(R = 12\) см, в общую формулу:
\(a_6 = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right)\)
Сначала вычислим значение аргумента синуса: \(\frac{180^\circ}{6} = 30^\circ\).
Таким образом, выражение преобразуется к виду:
\(a_6 = 24 \cdot \sin(30^\circ)\)
Известно, что значение синуса угла \(30^\circ\) равно \(\frac{1}{2}\). Подставим это значение в выражение:
\(a_6 = 24 \cdot \frac{1}{2}\)
Выполним умножение:
\(a_6 = 12\) см.
Таким образом, сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом \(12\) см, равна \(12\) см.

Теперь рассмотрим второй случай, когда требуется найти сторону правильного двенадцатиугольника. Для двенадцатиугольника число сторон \(n\) равно \(12\). Подставим это значение, а также радиус \(R = 12\) см, в ту же общую формулу:
\(a_{12} = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{12}\right)\)
Сначала вычислим значение аргумента синуса: \(\frac{180^\circ}{12} = 15^\circ\).
Таким образом, выражение преобразуется к виду:
\(a_{12} = 24 \cdot \sin(15^\circ)\)
Для вычисления \(\sin(15^\circ)\) можно использовать формулу синуса половинного угла, \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 — \cos(\alpha)}{2}}\), где \(\alpha = 30^\circ\).
\(\sin(15^\circ) = \sqrt{\frac{1 — \cos(30^\circ)}{2}}\)
Известно, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение:
\(\sin(15^\circ) = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\)
Приведем числитель дроби под корнем к общему знаменателю:
\(\sin(15^\circ) = \sqrt{\frac{\frac{2 — \sqrt{3}}{2}}{2}}\)
Выполним деление дробей:
\(\sin(15^\circ) = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{3}}{4}}\)
Извлечем квадратный корень из знаменателя:
\(\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}\)
\(\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2}\)
Теперь подставим это значение \(\sin(15^\circ)\) обратно в выражение для \(a_{12}\):
\(a_{12} = 24 \cdot \frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2}\)
Выполним умножение:
\(a_{12} = 12\sqrt{2 — \sqrt{3}}\) см.
Таким образом, сторона правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиусом \(12\) см, равна \(12\sqrt{2 — \sqrt{3}}\) см.

Оцени решение