ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 193 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус окружности равен \(8\sqrt{3}\) см. Найдите сторону описанного около этой окружности правильного шестиугольника.

Формула для стороны правильного \(n\)-угольника, описанного около окружности радиуса \(r\): \(a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\).
Для правильного шестиугольника \(n=6\). Радиус окружности \(r = 8\sqrt{3}\) см.
\(a_6 = 2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right)\)
\(a_6 = 16\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ)\)
Так как \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), то
\(a_6 = 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(a_6 = 16 \cdot \frac{3}{3}\)
\(a_6 = 16\)
Ответ: \(16\) см.

Дано, что радиус окружности \(r = 8\sqrt{3}\) см. Требуется найти сторону правильного шестиугольника, который описан около этой окружности.

Правильный шестиугольник состоит из шести равных правильных треугольников, вершины которых сходятся в центре шестиугольника. Когда окружность вписана в правильный шестиугольник, радиус этой окружности совпадает с апофемой шестиугольника. Апофема – это перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на его сторону. В случае правильного шестиугольника, апофема является высотой одного из этих шести правильных треугольников.

Рассмотрим один из таких правильных треугольников. Пусть его сторона равна \(a\). Высота \(h\) правильного треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). В нашем случае, высота этого треугольника равна радиусу вписанной окружности, то есть \(h = r\).

Таким образом, мы имеем уравнение: \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Подставим известное значение радиуса \(r = 8\sqrt{3}\) в это уравнение:
\(8\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Чтобы найти значение \(a\), умножим обе части уравнения на \(2\):
\(2 \cdot 8\sqrt{3} = a\sqrt{3}\)
\(16\sqrt{3} = a\sqrt{3}\).

Теперь разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):
\(a = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(a = 16\).

Итак, сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности с радиусом \(8\sqrt{3}\) см, равна \(16\) см.

В качестве альтернативного способа решения можно использовать общую формулу для стороны \(a\) правильного \(n\)-угольника, описанного около окружности радиуса \(r\):
\(a = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\).

Для правильного шестиугольника число сторон \(n\) равно \(6\).
Подставим \(n=6\) в формулу:
\(a_6 = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right)\)
\(a_6 = 2r \tan(30^\circ)\).

Известно, что радиус окружности \(r = 8\sqrt{3}\) см.
Подставим это значение \(r\) в уравнение:
\(a_6 = 2 \cdot (8\sqrt{3}) \cdot \tan(30^\circ)\)
\(a_6 = 16\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ)\).

Значение тангенса \(30\) градусов равно \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Подставим это значение в уравнение:
\(a_6 = 16\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Выполним умножение:
\(a_6 = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(a_6 = 16 \cdot 1\)
\(a_6 = 16\).

Таким образом, сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности с радиусом \(8\sqrt{3}\) см, составляет \(16\) см.