ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 194 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник.
Дано: \(\triangle ABC\) — равносторонний. Доказать: \(R : r = 2\).
Решение:
Рассмотрим \(\triangle ABC\). Для равностороннего треугольника со стороной \(AB\) радиус описанной окружности \(R = \frac{AB}{2 \sin 60^\circ}\), а радиус вписанной окружности \(r = \frac{AB}{2 \tan 60^\circ}\).
Найдем отношение \(\frac{R}{r}\):
\(\frac{R}{r} = \frac{\frac{AB}{2 \sin 60^\circ}}{\frac{AB}{2 \tan 60^\circ}} = \frac{\tan 60^\circ}{\sin 60^\circ}\).
Так как \(\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}\), то
\(\frac{R}{r} = \frac{\frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}}{\sin 60^\circ} = \frac{1}{\cos 60^\circ}\).
Зная, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), получаем
\(\frac{R}{r} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\).
Что и требовалось доказать.
Дано: Треугольник ABC является равносторонним. Это означает, что все его стороны имеют одинаковую длину, и все его внутренние углы равны \(60^\circ\).
Доказать: Отношение радиуса описанной окружности (обозначаемого как \(R\)) к радиусу вписанной окружности (обозначаемого как \(r\)) равно \(2\), то есть \(R : r = 2\).
Решение:
Пусть длина стороны равностороннего треугольника ABC будет обозначена как \(a\).
Для любого треугольника радиус описанной окружности \(R\) может быть найден по формуле \(R = \frac{x}{2 \sin X}\), где \(x\) — длина стороны, а \(X\) — угол, противолежащий этой стороне. В равностороннем треугольнике все стороны равны \(a\), и все углы равны \(60^\circ\). Следовательно, мы можем подставить \(x = a\) и \(X = 60^\circ\) в формулу для \(R\):
\(R = \frac{a}{2 \sin 60^\circ}\).
Для любого треугольника радиус вписанной окружности \(r\) может быть найден с использованием различных формул. Для равностороннего треугольника со стороной \(a\) формула для радиуса вписанной окружности задается как:
\(r = \frac{a}{2 \tan 60^\circ}\).
Теперь нам необходимо найти отношение \(R\) к \(r\). Для этого мы разделим выражение для \(R\) на выражение для \(r\):
\(\frac{R}{r} = \frac{\frac{a}{2 \sin 60^\circ}}{\frac{a}{2 \tan 60^\circ}}\).
Для упрощения этой сложной дроби мы можем умножить числитель на обратную величину знаменателя. Обратите внимание, что член \(\frac{a}{2}\) присутствует как в числителе, так и в знаменателе, поэтому мы можем сократить его:
\(\frac{R}{r} = \frac{\frac{1}{\sin 60^\circ}}{\frac{1}{\tan 60^\circ}}\).
Это выражение упрощается до:
\(\frac{R}{r} = \frac{1}{\sin 60^\circ} \times \frac{\tan 60^\circ}{1}\).
\(\frac{R}{r} = \frac{\tan 60^\circ}{\sin 60^\circ}\).
Далее мы используем тригонометрическое тождество, которое связывает тангенс, синус и косинус: \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\). Применим это тождество для угла \(\theta = 60^\circ\):
\(\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}\).
Подставим это выражение для \(\tan 60^\circ\) обратно в наше отношение:
\(\frac{R}{r} = \frac{\frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}}{\sin 60^\circ}\).
Теперь мы можем упростить это выражение. Поскольку \(\sin 60^\circ\) не равен нулю (его значение равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)), мы можем сократить \(\sin 60^\circ\) из числителя и знаменателя:
\(\frac{R}{r} = \frac{1}{\cos 60^\circ}\).
Наконец, мы подставляем известное значение \(\cos 60^\circ\), которое равно \(\frac{1}{2}\):
\(\frac{R}{r} = \frac{1}{\frac{1}{2}}\).
Деление на дробь эквивалентно умножению на ее обратную величину:
\(\frac{R}{r} = 1 \times \frac{2}{1}\).
\(\frac{R}{r} = 2\).
Таким образом, мы доказали, что отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности в равностороннем треугольнике равно \(2\). Это означает, что \(R : r = 2\).
