Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 195 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, на 4 см больше радиуса вписанной окружности. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и сторону треугольника.
Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний; \( R = r + 4 \) см. Найти: \( r \); \( R \); \( AB \).
Решение:
Для равностороннего треугольника \( R = 2r \).
Подставим это в первое уравнение: \( 2r = r + 4 \), откуда \( r = 4 \) см.
Тогда \( R = 2 \cdot 4 = 8 \) см.
Сторона равностороннего треугольника \( AB = 2R \sin(60^\circ) = 2 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \) см.
Ответ: \( 4 \) см; \( 8 \) см; \( 8\sqrt{3} \) см.
Дано: равносторонний треугольник \( ABC \). Радиус описанной окружности \( R \) и радиус вписанной окружности \( r \) связаны соотношением: \( R = r + 4 \) см. Требуется найти: радиус вписанной окружности \( r \), радиус описанной окружности \( R \) и длину стороны треугольника \( AB \).
Первым шагом мы используем известное свойство равностороннего треугольника, которое устанавливает связь между радиусом описанной окружности и радиусом вписанной окружности. Для любого равностороннего треугольника радиус описанной окружности \( R \) всегда в два раза больше радиуса вписанной окружности \( r \). Это можно выразить формулой: \( R = 2r \).
Далее, мы используем данное в условии задачи соотношение \( R = r + 4 \) см. Поскольку у нас есть два выражения для \( R \), мы можем приравнять их, чтобы найти значение \( r \). Подставляем \( 2r \) вместо \( R \) в уравнение \( R = r + 4 \):
\( 2r = r + 4 \)
Чтобы решить это уравнение относительно \( r \), вычтем \( r \) из обеих частей уравнения:
\( 2r — r = 4 \)
\( r = 4 \) см.
Таким образом, радиус вписанной окружности равен \( 4 \) сантиметрам.
Теперь, когда мы знаем значение \( r \), мы можем легко найти радиус описанной окружности \( R \), используя установленную ранее зависимость \( R = 2r \). Подставляем найденное значение \( r = 4 \) см:
\( R = 2 \cdot 4 \)
\( R = 8 \) см.
Следовательно, радиус описанной окружности равен \( 8 \) сантиметрам.
Наконец, нам нужно найти длину стороны равностороннего треугольника \( AB \). Для равностороннего треугольника существует прямая связь между радиусом описанной окружности \( R \) и длиной стороны \( a \). Эта связь выражается формулой \( a = R\sqrt{3} \). Подставим найденное значение \( R = 8 \) см в эту формулу:
\( AB = 8\sqrt{3} \) см.
Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника составляет \( 8\sqrt{3} \) сантиметров.
Ответ: \( 4 \) см; \( 8 \) см; \( 8\sqrt{3} \) см.
