ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 196 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона правильного многоугольника равна \(a\), радиус описанной окружности равен \(R\). Найдите радиус вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом описанной окружности \(R\), радиусом вписанной окружности \(r\) и половиной стороны многоугольника \(\frac{a}{2}\). В этом треугольнике \(R\) является гипотенузой, а \(r\) и \(\frac{a}{2}\) — катетами. По теореме Пифагора имеем \(r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = R^2\). Выражая \(r\), получаем \(r = \sqrt{R^2 — \frac{a^2}{4}}\).

Дано:
Сторона правильного многоугольника равна \(a\).
Радиус описанной окружности равен \(R\).
Радиус вписанной окружности равен \(r\).
Отрезок \(OH\) перпендикулярен стороне \(AB\).

Рассмотрим треугольник \(AOB\), где \(O\) — центр многоугольника, а \(A\) и \(B\) — две соседние вершины.
Поскольку \(OA\) и \(OB\) являются радиусами описанной окружности, то \(OA = OB = R\).
Следовательно, треугольник \(AOB\) является равнобедренным с основанием \(AB\).

Отрезок \(OH\) является высотой, проведенной из вершины \(O\) к основанию \(AB\) в равнобедренном треугольнике \(AOB\).
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой.
Это означает, что точка \(H\) делит отрезок \(AB\) пополам.
Таким образом, \(AH = HB = \frac{1}{2}AB\).
Поскольку \(AB = a\), то \(HB = \frac{a}{2}\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(OHB\).
В этом треугольнике:
Катет \(OH\) равен \(r\) (радиусу вписанной окружности).
Катет \(HB\) равен \(\frac{a}{2}\).
Гипотенуза \(OB\) равна \(R\) (радиусу описанной окружности).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \(OHB\):
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
\(OH^2 + HB^2 = OB^2\)

Подставим известные значения:
\(r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = R^2\)

Вычислим квадрат дроби:
\(\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{2^2} = \frac{a^2}{4}\)

Теперь уравнение принимает вид:
\(r^2 + \frac{a^2}{4} = R^2\)

Чтобы найти \(r\), выразим \(r^2\):
\(r^2 = R^2 — \frac{a^2}{4}\)

Для получения значения \(r\), возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(r = \sqrt{R^2 — \frac{a^2}{4}}\)