ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 197 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника равны соответственно \(r\) и \(R\). Найдите сторону многоугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом описанной окружности \(R\) (гипотенуза), радиусом вписанной окружности \(r\) (катет) и половиной стороны многоугольника \(\frac{a}{2}\) (второй катет).

По теореме Пифагора: \(R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\).

Преобразуем уравнение:
\(R^2 = r^2 + \frac{a^2}{4}\)
\(R^2 — r^2 = \frac{a^2}{4}\)
\(4(R^2 — r^2) = a^2\)
\(a = \sqrt{4(R^2 — r^2)}\)
\(a = 2\sqrt{R^2 — r^2}\)

Рассмотрим правильный многоугольник с центром \(O\). Пусть \(R\) — радиус описанной окружности, то есть расстояние от центра \(O\) до любой вершины многоугольника. Пусть \(r\) — радиус вписанной окружности, также известный как апофема, то есть расстояние от центра \(O\) до середины любой стороны многоугольника, измеренное по перпендикуляру к этой стороне. Обозначим длину стороны многоугольника как \(a\).

Возьмем две соседние вершины многоугольника, пусть это будут \(A\) и \(B\). Отрезок \(AB\) является одной из сторон многоугольника, поэтому его длина равна \(a\). Соединим центр \(O\) с вершинами \(A\) и \(B\). Получим равнобедренный треугольник \(OAB\), поскольку \(OA = OB = R\) (как радиусы описанной окружности).

Теперь проведем высоту из центра \(O\) к стороне \(AB\). Пусть \(H\) — точка пересечения этой высоты со стороной \(AB\). Поскольку \(OH\) является высотой в равнобедренном треугольнике, опущенной на основание, она также является медианой. Это означает, что точка \(H\) делит сторону \(AB\) пополам, то есть \(AH = HB = \frac{a}{2}\). Длина отрезка \(OH\) по определению является радиусом вписанной окружности, то есть \(OH = r\).

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник \(OHB\). Угол \(\angle OHB\) равен \(90^\circ\). В этом прямоугольном треугольнике:
Катет \(OH\) имеет длину \(r\).
Катет \(HB\) имеет длину \(\frac{a}{2}\).
Гипотенуза \(OB\) имеет длину \(R\).

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Применяя эту теорему к треугольнику \(OHB\), получаем:
\(OB^2 = OH^2 + HB^2\)

Подставляем известные значения длин сторон в это уравнение:
\(R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\)

Теперь наша задача — выразить \(a\) из этого уравнения. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках:
\(R^2 = r^2 + \frac{a^2}{4}\)

Далее, чтобы выделить член, содержащий \(a\), вычтем \(r^2\) из обеих частей уравнения:
\(R^2 — r^2 = \frac{a^2}{4}\)

Чтобы избавиться от знаменателя \(4\), умножим обе части уравнения на \(4\):
\(4(R^2 — r^2) = a^2\)

Наконец, чтобы найти \(a\), возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку \(a\) представляет собой длину, она должна быть положительной:
\(a = \sqrt{4(R^2 — r^2)}\)

Мы можем упростить это выражение, вынеся \(\sqrt{4}\) из-под корня, так как \(\sqrt{4} = 2\):
\(a = 2\sqrt{R^2 — r^2}\)