ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 198 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона правильного многоугольника равна \(a\), радиус вписанной окружности равен \(r\). Найдите радиус описанной окружности.

Рассмотрим \(\triangle AOB\). Так как \(OA = OB = R\), то \(\triangle AOB\) — равнобедренный. Высота \(OH\) в равнобедренном треугольнике является также медианой, поэтому \(H\) — середина \(AB\). Значит, \(BH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle OHB\). По теореме Пифагора:
\(OB^2 = OH^2 + BH^2\)
\(R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\)
\(R^2 = r^2 + \frac{a^2}{4}\)
\(R = \sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}}\)

Мы рассматриваем правильный многоугольник с центром в точке \(O\). Пусть \(A\) и \(B\) — две смежные вершины этого многоугольника. Длина стороны \(AB\) задана как \(a\), то есть \(AB = a\).

Радиус описанной окружности, обозначаемый как \(R\), представляет собой расстояние от центра многоугольника \(O\) до любой из его вершин. Следовательно, отрезки \(OA\) и \(OB\) являются радиусами описанной окружности, и их длины равны \(R\), то есть \(OA = OB = R\).

Радиус вписанной окружности, обозначаемый как \(r\), определяется как перпендикулярное расстояние от центра многоугольника \(O\) до любой из его сторон. Пусть \(H\) — это середина стороны \(AB\). Тогда отрезок \(OH\) является перпендикуляром к стороне \(AB\), и его длина равна радиусу вписанной окружности, то есть \(OH = r\).

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Мы знаем, что \(OA = R\) и \(OB = R\). Поскольку две стороны этого треугольника равны, \(\triangle AOB\) является равнобедренным треугольником с вершиной \(O\) и основанием \(AB\).

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, также является медианой к этому основанию. Поскольку \(OH\) — это высота, проведенная из \(O\) к \(AB\) (по определению радиуса вписанной окружности), \(OH\) также является медианой. Это означает, что точка \(H\) делит сторону \(AB\) на две равные части. Таким образом, \(AH = HB\). Поскольку общая длина стороны \(AB\) равна \(a\), то \(AH = HB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\).

Далее, обратим внимание на треугольник \(\triangle OHB\). Мы установили, что \(OH\) перпендикулярен \(AB\), что означает, что угол \(\angle OHB\) является прямым углом, равным \(90^\circ\). Следовательно, \(\triangle OHB\) — это прямоугольный треугольник.
Стороны этого прямоугольного треугольника следующие:
Катет \(OH\) имеет длину \(r\).
Катет \(HB\) имеет длину \(\frac{a}{2}\).
Гипотенуза \(OB\) имеет длину \(R\).

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \(\triangle OHB\), которая гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов, мы получаем:
\(OB^2 = OH^2 + HB^2\)
Подставляя известные значения длин:
\(R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\)

Упростим выражение для \(\left(\frac{a}{2}\right)^2\):
\(\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{2^2} = \frac{a^2}{4}\)
Подставим это обратно в уравнение:
\(R^2 = r^2 + \frac{a^2}{4}\)
Чтобы найти \(R\), возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(R = \sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}}\)