ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 199 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около окружности описан правильный шестиугольник со стороной \(4\sqrt{3}\) см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

1) Радиус вписанной окружности: \(r_6 = \frac{4\sqrt{3}}{2 \tan 30^\circ}\)
\(r_6 = 2\sqrt{3} : \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\) см.

2) Сторона вписанного квадрата: \(a_4 = 2 \cdot 6 \sin 45^\circ\)
\(a_4 = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\) см.

Для начала определим радиус окружности, которая описана около правильного шестиугольника. Эта окружность является вписанной в шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника дана как \(4\sqrt{3}\) см. Радиус \(R\) окружности, вписанной в правильный \(n\)-угольник со стороной \(a_n\), можно найти по формуле \(R = \frac{a_n}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}\).

В нашем случае, для шестиугольника, \(n = 6\), а сторона \(a_6 = 4\sqrt{3}\) см. Подставим эти значения в формулу: \(R = \frac{4\sqrt{3}}{2 \tan(\frac{180^\circ}{6})}\). Вычислим значение тангенса: \(\tan(\frac{180^\circ}{6}) = \tan(30^\circ)\). Известно, что \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Теперь подставим значение тангенса обратно в формулу для радиуса: \(R = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}\). Упростим знаменатель: \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\). Таким образом, выражение для радиуса принимает вид: \(R = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\). Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную дробь: \(R = 4\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}}\). Сократим \(\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе: \(R = 4 \cdot \frac{3}{2}\). Выполним умножение и деление: \(R = \frac{12}{2} = 6\) см. Следовательно, радиус окружности равен \(6\) см.

Далее нам необходимо найти сторону квадрата, который вписан в эту же окружность с радиусом \(R = 6\) см. Для квадрата, вписанного в окружность, существует прямая зависимость между его стороной \(a_4\) и радиусом окружности \(R\). Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности, то есть \(2R\). По теореме Пифагора, если сторона квадрата равна \(a_4\), то \(a_4^2 + a_4^2 = (2R)^2\). Это упрощается до \(2a_4^2 = 4R^2\). Разделив обе части на \(2\), получим \(a_4^2 = 2R^2\). Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим \(a_4 = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\).

Теперь подставим найденное значение радиуса \(R = 6\) см в формулу для стороны квадрата: \(a_4 = 6\sqrt{2}\) см. Это и есть искомая сторона квадрата.

Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна \(6\sqrt{2}\) см.