ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике углы \( \alpha \), \( \beta \) и \( 90^\circ \). Сумма углов \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Косинус прямого угла равен нулю: \( \cos 90^\circ = 0 \).

Косинус угла \( \beta = \cos (90^\circ — \alpha) = \sin \alpha \).

Сумма квадратов косинусов:
\( \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 90^\circ = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 0 = 1 \).

В прямоугольном треугольнике три угла: \( \alpha \), \( \beta \) и прямой угол \( 90^\circ \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), значит \( \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ \).

Отсюда следует, что \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Косинус прямого угла равен нулю: \( \cos 90^\circ = 0 \).

Угол \( \beta \) можно выразить через \( \alpha \) как \( \beta = 90^\circ — \alpha \).

Тогда косинус угла \( \beta \) равен \( \cos \beta = \cos (90^\circ — \alpha) \).

Из тригонометрии известно, что \( \cos (90^\circ — \alpha) = \sin \alpha \).

Теперь найдём сумму квадратов косинусов всех углов:
\( \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 90^\circ = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 0 \).

Из основного тригонометрического тождества следует, что \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).

Таким образом, сумма квадратов косинусов всех углов равна \( 1 \).