Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 200 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В окружность вписан квадрат со стороной \(6\sqrt{2}\) см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.
Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной \(a_4 = 6\sqrt{2}\) см, находится по формуле \(R = \frac{a_4}{2 \sin(\frac{180^\circ}{4})}\). Подставляем значения: \(R = \frac{6\sqrt{2}}{2 \sin(45^\circ)} = \frac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6\) см.
Сторона правильного треугольника \(a_3\), описанного около окружности с радиусом \(R = 6\) см, находится по формуле \(a_3 = 2R \tan(\frac{180^\circ}{3})\). Подставляем значения: \(a_3 = 2 \cdot 6 \cdot \tan(60^\circ) = 12 \cdot \sqrt{3}\) см.
Проблема заключается в нахождении стороны правильного треугольника, который описан вокруг некоторой окружности, при условии, что квадрат со стороной \(6\sqrt{2}\) см вписан в ту же самую окружность. Для решения этой задачи нам необходимо сначала определить радиус данной окружности.
Когда квадрат вписан в окружность, эта окружность является описанной окружностью для квадрата. Формула для радиуса \(R\) описанной окружности правильного n-угольника со стороной \(a_n\) выражается как \(R = \frac{a_n}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}\). В случае квадрата, количество сторон \(n\) равно \(4\), а заданная длина стороны \(a_4\) составляет \(6\sqrt{2}\) см. Подставляя эти значения в формулу, получаем \(R = \frac{6\sqrt{2}}{2 \sin(\frac{180^\circ}{4})}\).
Мы знаем, что значение \(\frac{180^\circ}{4}\) равно \(45^\circ\), а синус \(45^\circ\) равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Следовательно, выражение для радиуса принимает вид \(R = \frac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\). Упрощая знаменатель, \(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) дает \(\sqrt{2}\). Таким образом, радиус \(R = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\), что упрощается до \(R = 6\) см. Этот радиус является радиусом окружности, в которую вписан квадрат и вокруг которой описан треугольник.
Теперь нам нужно найти сторону правильного треугольника, который описан вокруг этой окружности. Это означает, что окружность является вписанной окружностью для правильного треугольника. Формула для длины стороны \(a_n\) правильного n-угольника, описанного вокруг окружности с радиусом \(r\), определяется как \(a_n = 2r \tan(\frac{180^\circ}{n})\). В нашем случае радиус вписанной окружности для треугольника равен ранее вычисленному радиусу \(R\), то есть \(r = 6\) см. Для правильного треугольника количество сторон \(n\) равно \(3\). Подставляя эти значения в формулу, получаем \(a_3 = 2 \cdot 6 \cdot \tan(\frac{180^\circ}{3})\).
Мы знаем, что значение \(\frac{180^\circ}{3}\) равно \(60^\circ\), а тангенс \(60^\circ\) равен \(\sqrt{3}\). Следовательно, выражение для стороны треугольника становится \(a_3 = 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}\). Выполняя умножение, получаем \(a_3 = 12\sqrt{3}\) см.
Сторона правильного треугольника, описанного вокруг данной окружности, составляет \(12\sqrt{3}\) см.
