ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 201 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диаметр круга равен 16 см. Можно ли из него вырезать квадрат со стороной 12 см?

Диаметр круга равен \(16\) см.
Сторона вписанного квадрата:
\(a_4 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2 \cdot \frac{16}{2} \cdot \sin 45^\circ\)
\(a_4 = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} = \sqrt{8^2 \cdot 2} = \sqrt{128}\)
\(12 = \sqrt{12^2} = \sqrt{144}\)
Так как \(\sqrt{144} > \sqrt{128}\), то \(12 > 8\sqrt{2}\).
Ответ: нет.

Для того чтобы определить, можно ли вырезать квадрат со стороной \(12\) см из круга диаметром \(16\) см, необходимо сравнить длину стороны заданного квадрата с максимальной длиной стороны квадрата, который может быть вписан в данный круг.

Сначала определим радиус круга. Диаметр круга \(D\) равен \(16\) см. Радиус круга \(R\) вычисляется как половина диаметра: \(R = \frac{D}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см.

Далее, найдем максимальную длину стороны квадрата, который может быть вписан в этот круг. Диагональ квадрата, вписанного в круг, равна диаметру этого круга. Обозначим сторону вписанного квадрата как \(a\). По теореме Пифагора, для квадрата со стороной \(a\), его диагональ \(d\) равна \(\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). Поскольку диагональ вписанного квадрата равна диаметру круга, мы имеем \(a\sqrt{2} = D\). Отсюда, сторона вписанного квадрата \(a = \frac{D}{\sqrt{2}}\). Подставляя значение диаметра \(D = 16\) см, получаем \(a = \frac{16}{\sqrt{2}}\) см. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \(a = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}\) см.

Теперь нам нужно сравнить сторону заданного квадрата, которая равна \(12\) см, со стороной максимально возможного вписанного квадрата, которая составляет \(8\sqrt{2}\) см. Для более простого сравнения, возведем обе величины в квадрат:
Сторона заданного квадрата в квадрате: \(12^2 = 144\).
Сторона максимально возможного вписанного квадрата в квадрате: \((8\sqrt{2})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128\).

Сравнивая полученные значения, мы видим, что \(144 > 128\). Это означает, что \(12 > 8\sqrt{2}\). Поскольку сторона квадрата, который мы хотим вырезать (\(12\) см), больше максимальной стороны квадрата, который может быть вписан в круг (\(8\sqrt{2}\) см), то такой квадрат вырезать нельзя.

Ответ: нет.