ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 202 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечным сечением которого является правильный треугольник со стороной 15 см?

Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной \(a\) равен \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\).
Подставляем \(a = 15\): \(R = \frac{15}{\sqrt{3}}\).
Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(R = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}\) см.
Диаметр \(d\) равен \(2R\): \(d = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\) см.
Приближенное значение: \(d \approx 10 \cdot 1.73 = 17.3\) см.

Для изготовления бруса поперечным сечением в виде правильного треугольника со стороной 15 см из круглого бревна необходимо, чтобы наименьший диаметр бревна был равен диаметру окружности, описанной вокруг этого правильного треугольника. Это связано с тем, что описанная окружность является наименьшей окружностью, которая может полностью вместить данный треугольник, и, следовательно, ее диаметр будет минимально необходимым диаметром для круглого бревна.

Для правильного треугольника (равностороннего треугольника) со стороной, обозначенной как \(a\), существует определенная формула для вычисления радиуса описанной вокруг него окружности. Радиус описанной окружности \(R\) для равностороннего треугольника со стороной \(a\) определяется по формуле \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Эта формула является стандартным результатом в геометрии для равносторонних треугольников.

В данном случае, длина стороны правильного треугольника \(a\) составляет 15 см. Подставляя это значение в формулу для радиуса описанной окружности, получаем: \(R = \frac{15}{\sqrt{3}}\) см. Чтобы упростить это выражение и избавиться от иррациональности в знаменателе, мы умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{3}\). Это действие не изменяет значение дроби, так как мы фактически умножаем ее на 1 (\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)). Таким образом, \(R = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3}\) см.

После упрощения дроби, делим 15 на 3, что дает 5. Следовательно, радиус описанной окружности \(R = 5\sqrt{3}\) см.

Далее, чтобы найти наименьший диаметр бревна, нам нужно вычислить диаметр описанной окружности. Диаметр \(d\) всегда равен двум радиусам, то есть \(d = 2R\). Подставляя найденное значение радиуса \(R = 5\sqrt{3}\) см, получаем: \(d = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\) см.

Для получения числового значения диаметра, мы можем использовать приближенное значение \(\sqrt{3}\), которое составляет приблизительно 1.732. Округляя до двух знаков после запятой, можно использовать 1.73. Таким образом, \(d \approx 10 \cdot 1.73 = 17.3\) см.

Следовательно, наименьший диаметр круглого бревна, из которого можно изготовить брус поперечным сечением в виде правильного треугольника со стороной 15 см, должен быть приблизительно 17.3 см.