ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 203 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечным сечением которого является квадрат со стороной 14 см?

Сторона квадрата \(a = 14\) см.
Радиус описанной окружности \(R_4\):
\(R_4 = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{4})} = \frac{14}{2 \sin 45^\circ}\)
\(R_4 = 7 : \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}\)
Диаметр описанной окружности \(d = 2R_4\):
\(d = 2 \cdot 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2} \approx 19.8\) см.
Ответ: \(\approx 19.8\) см.

Для того чтобы из круглого бревна можно было вырезать брус квадратного сечения, диаметр бревна должен быть равен диаметру окружности, описанной вокруг этого квадрата.

Дана сторона квадратного бруса \(a = 14\) см.

Для квадрата, вписанного в окружность, радиус описанной окружности \(R\) можно найти по формуле, связывающей сторону правильного многоугольника с радиусом описанной окружности: \(R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}\), где \(a\) — длина стороны многоугольника, а \(n\) — количество его сторон.

В случае квадрата, количество сторон \(n = 4\). Подставляем значения в формулу:
\(R = \frac{14}{2 \sin(\frac{180^\circ}{4})}\)
\(R = \frac{14}{2 \sin 45^\circ}\)

Известно, что значение синуса 45 градусов равно \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляем это значение в выражение для радиуса:
\(R = \frac{14}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(R = \frac{14}{\sqrt{2}}\)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\(R = \frac{14 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\)
\(R = \frac{14\sqrt{2}}{2}\)
\(R = 7\sqrt{2}\) см.

Диаметр бревна \(d\) равен двум радиусам описанной окружности:
\(d = 2R\)
\(d = 2 \cdot 7\sqrt{2}\)
\(d = 14\sqrt{2}\) см.

Для получения числового значения используем приближенное значение \(\sqrt{2} \approx 1.414\):
\(d \approx 14 \cdot 1.414\)
\(d \approx 19.796\) см.

Округляем полученное значение до одного знака после запятой:
\(d \approx 19.8\) см.

Таким образом, наименьший диаметр круглого бревна должен быть приблизительно \(19.8\) см.