ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 204 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого на \(36^\circ\) больше его центрального угла?
Пусть \(\alpha\) — внутренний угол правильного \(n\)-угольника, а \(\beta\) — его центральный угол.
Тогда \(\alpha = \frac{180^\circ \cdot (n — 2)}{n}\) и \(\beta = \frac{360^\circ}{n}\).
По условию, \(\alpha = \beta + 36^\circ\), что можно записать как \(\beta = \alpha — 36^\circ\).
Подставим выражения для \(\alpha\) и \(\beta\):
\(\frac{360^\circ}{n} = \frac{180^\circ \cdot (n — 2)}{n} — 36^\circ\).
Умножим обе части уравнения на \(n\):
\(360^\circ = 180^\circ \cdot (n — 2) — 36^\circ \cdot n\).
Раскроем скобки:
\(360^\circ = 180^\circ n — 360^\circ — 36^\circ n\).
Перенесем \(360^\circ\) в левую часть и сгруппируем члены с \(n\):
\(360^\circ + 360^\circ = 180^\circ n — 36^\circ n\).
\(720^\circ = 144^\circ n\).
Разделим обе части на \(144^\circ\):
\(n = \frac{720^\circ}{144^\circ}\).
\(n = 5\).
Для начала решения данной задачи, необходимо вспомнить и записать формулы для вычисления углов правильного многоугольника. Внутренний угол, или угол многоугольника, обозначается как \(\alpha\), и его значение для правильного \(n\)-угольника определяется по формуле \(\alpha = \frac{180^\circ \cdot (n — 2)}{n}\). Центральный угол правильного \(n\)-угольника обозначается как \(\beta\), и его значение вычисляется по формуле \(\beta = \frac{360^\circ}{n}\).
Согласно условию задачи, угол многоугольника на \(36^\circ\) больше его центрального угла. Это соотношение можно выразить в виде математического уравнения: \(\alpha = \beta + 36^\circ\). Также это уравнение можно переписать в эквивалентной форме, выражая центральный угол через внутренний: \(\beta = \alpha — 36^\circ\). Для удобства дальнейших вычислений, мы будем использовать вторую форму записи.
Теперь подставим ранее записанные формулы для \(\alpha\) и \(\beta\) в уравнение \(\beta = \alpha — 36^\circ\). Это даст нам следующее выражение: \(\frac{360^\circ}{n} = \frac{180^\circ \cdot (n — 2)}{n} — 36^\circ\). Таким образом, мы получили уравнение, содержащее только одну неизвестную переменную — количество сторон многоугольника \(n\).
Следующим шагом является упрощение и решение полученного уравнения относительно \(n\). Для того чтобы избавиться от знаменателя \(n\), умножим каждый член уравнения на \(n\). Важно отметить, что \(n\) не может быть равно нулю, так как это количество сторон многоугольника. После умножения получаем: \(360^\circ = 180^\circ \cdot (n — 2) — 36^\circ \cdot n\).
Далее необходимо раскрыть скобки в правой части уравнения. Умножим \(180^\circ\) на каждый член в скобках \((n — 2)\): \(360^\circ = 180^\circ n — 180^\circ \cdot 2 — 36^\circ n\). Произведя умножение, получаем: \(360^\circ = 180^\circ n — 360^\circ — 36^\circ n\).
Теперь сгруппируем подобные члены. Перенесем все постоянные члены в одну сторону уравнения, а все члены, содержащие \(n\), — в другую. Для этого добавим \(360^\circ\) к обеим частям уравнения: \(360^\circ + 360^\circ = 180^\circ n — 36^\circ n\). Выполнив сложение в левой части и вычитание в правой части, получаем: \(720^\circ = (180^\circ — 36^\circ) n\), что упрощается до \(720^\circ = 144^\circ n\).
Последним шагом для нахождения значения \(n\) является деление обеих частей уравнения на коэффициент при \(n\), то есть на \(144^\circ\). Таким образом: \(n = \frac{720^\circ}{144^\circ}\). Выполнив деление, получаем: \(n = 5\). Это означает, что правильный многоугольник, удовлетворяющий условиям задачи, имеет 5 сторон.
