ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 206 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что все диагонали правильного пятиугольника равны.

В правильном пятиугольнике \(ABCDE\), пусть \(O\) — центр описанной окружности. Тогда радиусы \(OA\) и \(OC\) равны \(R\).
Угол \(\angle AOC\) равен сумме углов \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\). Поскольку пятиугольник правильный, центральные углы, опирающиеся на равные стороны, также равны. Пусть \(\angle AOB = \angle BOC = \beta\). Тогда \(\angle AOC = 2\beta\).
Рассмотрим треугольник \(AOC\). По теореме косинусов квадрат стороны \(AC\) равен:
\(AC^2 = AO^2 + OC^2 — 2 \cdot AO \cdot OC \cdot \cos(\angle AOC)\).
Подставляя значения \(AO = R\), \(OC = R\) и \(\angle AOC = 2\beta\), получаем:
\(AC^2 = R^2 + R^2 — 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(2\beta)\).
Далее упрощаем выражение:
\(AC^2 = 2R^2 — 2R^2 \cos(2\beta)\).
Чтобы найти длину диагонали \(AC\), извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(AC = \sqrt{2R^2 — 2R^2 \cos(2\beta)}\).
Вынося \(R\) из-под корня, получаем:
\(AC = R\sqrt{2 — 2 \cos(2\beta)}\).

В правильном пятиугольнике \(ABCDE\), все стороны имеют одинаковую длину, и все внутренние углы равны. Пусть длина каждой стороны пятиугольника будет \(s\). Тогда \(AB = BC = CD = DE = EA = s\). Каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен \(\frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ\). Таким образом, \(\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA = \angle EAB = 108^\circ\).

Для того чтобы доказать, что все диагонали правильного пятиугольника равны, мы можем использовать принцип конгруэнтности треугольников. Рассмотрим две диагонали, например, \(AC\) и \(BD\). Диагональ \(AC\) является третьей стороной треугольника \(ABC\), а диагональ \(BD\) является третьей стороной треугольника \(BCD\).

Давайте сравним треугольники \(ABC\) и \(BCD\).
Сначала рассмотрим сторону \(AB\) треугольника \(ABC\) и сторону \(CD\) треугольника \(BCD\). Поскольку пятиугольник является правильным, все его стороны равны. Следовательно, \(AB = CD\) по определению правильного пятиугольника.
Затем рассмотрим угол \(\angle ABC\) треугольника \(ABC\) и угол \(\angle BCD\) треугольника \(BCD\). Поскольку все внутренние углы правильного пятиугольника равны, мы имеем \(\angle ABC = \angle BCD\). Оба этих угла составляют \(108^\circ\).
Наконец, рассмотрим сторону \(BC\). Эта сторона является общей для обоих треугольников, \(ABC\) и \(BCD\). Следовательно, \(BC = BC\).

Поскольку две стороны и заключенный между ними угол одного треугольника равны соответствующим двум сторонам и заключенному между ними углу другого треугольника (а именно, \(AB = CD\), \(\angle ABC = \angle BCD\), и \(BC = BC\)), то согласно признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), треугольник \(ABC\) конгруэнтен треугольнику \(BCD\). Это записывается как \(\triangle ABC \cong \triangle BCD\).

Из конгруэнтности треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, третьи стороны этих треугольников равны. Третьей стороной треугольника \(ABC\) является диагональ \(AC\), а третьей стороной треугольника \(BCD\) является диагональ \(BD\). Таким образом, мы доказали, что \(AC = BD\).

Теперь мы можем применить тот же логический подход, чтобы доказать равенство всех остальных диагоналей.
Рассмотрим треугольники \(BCD\) и \(CDE\).
У нас есть:
1. Сторона \(BC = DE\) (как стороны правильного пятиугольника).
2. Угол \(\angle BCD = \angle CDE\) (как внутренние углы правильного пятиугольника).
3. Сторона \(CD = CD\) (общая сторона).
По признаку SAS, \(\triangle BCD \cong \triangle CDE\). Отсюда следует, что \(BD = CE\).

Продолжая этот процесс:
Рассмотрим треугольники \(CDE\) и \(DEA\).
У нас есть:
1. Сторона \(CD = EA\) (как стороны правильного пятиугольника).
2. Угол \(\angle CDE = \angle DEA\) (как внутренние углы правильного пятиугольника).
3. Сторона \(DE = DE\) (общая сторона).
По признаку SAS, \(\triangle CDE \cong \triangle DEA\). Отсюда следует, что \(CE = DA\).

И, наконец, рассмотрим треугольники \(DEA\) и \(EAB\).
У нас есть:
1. Сторона \(DE = AB\) (как стороны правильного пятиугольника).
2. Угол \(\angle DEA = \angle EAB\) (как внутренние углы правильного пятиугольника).
3. Сторона \(EA = EA\) (общая сторона).
По признаку SAS, \(\triangle DEA \cong \triangle EAB\). Отсюда следует, что \(DA = EB\).

Объединяя все полученные равенства, мы имеем:
\(AC = BD\)
\(BD = CE\)
\(CE = DA\)
\(DA = EB\)
Таким образом, мы доказали, что все диагонали правильного пятиугольника равны между собой: \(AC = BD = CE = DA = EB\).