ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 207 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.
В правильном пятиугольнике \(ABCDE\) центральный угол \(\beta = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ\). Тогда \(\angle EOC = 2\beta = 144^\circ\). В равнобедренном треугольнике \(\triangle EOC\) (так как \(OE = OC\)) угол \(\angle OCE = \frac{1}{2} (180^\circ — \angle EOC) = \frac{1}{2} (180^\circ — 144^\circ) = 18^\circ\). В равнобедренном треугольнике \(\triangle AOB\) (так как \(OA = OB\)) угол \(\angle OBA = \frac{1}{2} (180^\circ — \angle AOB) = \frac{1}{2} (180^\circ — 72^\circ) = 54^\circ\). В равнобедренном треугольнике \(\triangle BOC\) (так как \(OB = OC\)) угол \(\angle OBC = \frac{1}{2} (180^\circ — \angle BOC) = \frac{1}{2} (180^\circ — 72^\circ) = 54^\circ\). Рассмотрим четырехугольник \(ABCE\). Угол \(\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 54^\circ + 54^\circ = 108^\circ\). Угол \(\angle ECB = \angle OCB + \angle OCE = 54^\circ + 18^\circ = 72^\circ\). Сумма углов \(\angle ABC + \angle ECB = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ\). Так как сумма внутренних односторонних углов равна \(180^\circ\), то \(CE \parallel AB\). Что и требовалось доказать.
Для доказательства того, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон, рассмотрим правильный пятиугольник \(ABCDE\) и докажем, что диагональ \(EC\) параллельна стороне \(AB\). Аналогичные рассуждения применимы и к другим диагоналям, поскольку правильный пятиугольник обладает осевой симметрией относительно прямых, проходящих через каждую вершину и середину противоположной стороны.
Пусть \(O\) — центр описанной окружности правильного пятиугольника \(ABCDE\). В правильном пятиугольнике все стороны равны по длине, и все внутренние углы равны по величине. Также, все радиусы, проведенные из центра \(O\) к вершинам пятиугольника, равны между собой, то есть \(OA = OB = OC = OD = OE = R\), где \(R\) — радиус описанной окружности.
Центральный угол, опирающийся на каждую сторону правильного пятиугольника, равен \(\frac{360^\circ}{5}\). Таким образом, \(\angle EOA = \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = 72^\circ\).
Рассмотрим диагональ \(EC\). Угол \(\angle EOC\) является центральным углом, опирающимся на дугу \(EC\), которая состоит из двух дуг — \(ED\) и \(DC\). Следовательно, величина угла \(\angle EOC = \angle EOD + \angle DOC = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ\).
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle EOC\). Поскольку \(OE = OC = R\) (радиусы одной и той же окружности), треугольник \(\triangle EOC\) является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании \(EC\) это \(\angle OEC\) и \(\angle OCE\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Поэтому, \(\angle OEC = \angle OCE = \frac{1}{2} (180^\circ — \angle EOC) = \frac{1}{2} (180^\circ — 144^\circ) = \frac{1}{2} (36^\circ) = 18^\circ\).
Далее, рассмотрим треугольник \(\triangle BOC\). Поскольку \(OB = OC = R\), треугольник \(\triangle BOC\) также является равнобедренным. Угол \(\angle BOC = 72^\circ\). Углы при основании \(BC\) это \(\angle OBC\) и \(\angle OCB\). Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB = \frac{1}{2} (180^\circ — \angle BOC) = \frac{1}{2} (180^\circ — 72^\circ) = \frac{1}{2} (108^\circ) = 54^\circ\).
Аналогично, рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Поскольку \(OA = OB = R\), треугольник \(\triangle AOB\) является равнобедренным. Угол \(\angle AOB = 72^\circ\). Углы при основании \(AB\) это \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\). Следовательно, \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{1}{2} (180^\circ — \angle AOB) = \frac{1}{2} (180^\circ — 72^\circ) = \frac{1}{2} (108^\circ) = 54^\circ\).
Теперь рассмотрим углы, образованные стороной \(AB\) и диагональю \(EC\) с секущей \(BC\). Нам нужно найти сумму внутренних односторонних углов \(\angle ABC\) и \(\angle BCE\).
Угол \(\angle ABC\) является внутренним углом правильного пятиугольника. Его можно найти как сумму углов \(\angle OBA\) и \(\angle OBC\). Таким образом, \(\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 54^\circ + 54^\circ = 108^\circ\).
Угол \(\angle BCE\) (или \(\angle ECB\)) состоит из двух частей: \(\angle OCB\) и \(\angle OCE\). Следовательно, \(\angle BCE = \angle OCB + \angle OCE = 54^\circ + 18^\circ = 72^\circ\).
Теперь просуммируем величины этих двух углов: \(\angle ABC + \angle BCE = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ\).
Поскольку сумма внутренних односторонних углов (\(\angle ABC\) и \(\angle BCE\)) при пересечении прямых \(AB\) и \(EC\) секущей \(BC\) равна \(180^\circ\), это означает, что прямые \(AB\) и \(EC\) параллельны. Таким образом, диагональ \(EC\) параллельна стороне \(AB\). Что и требовалось доказать.
