ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 208 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной квадрата, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна \(a\). Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат: 1) по разные стороны от хорды; 2) по одну сторону от хорды.

Есть правильный треугольник и квадрат с общей стороной \(a\). Нужно найти расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг этих фигур.

Радиус окружности правильного \(n\)-угольника со стороной \(a\) равен \(R = \frac{a}{2 \tan \frac{180^\circ}{n}}\).

Для треугольника \(n = 3\), значит радиус \(r_3 = \frac{a}{2 \tan 60^\circ}\). Так как \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), то \(r_3 = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

Для квадрата \(n = 4\), радиус \(r_4 = \frac{a}{2 \tan 45^\circ} = \frac{a}{2}\), потому что \(\tan 45^\circ = 1\).

Если центры окружностей по разные стороны от общей стороны, расстояние между ними \(l_1 = r_3 + r_4 = \frac{a}{2 \sqrt{3}} + \frac{a}{2}\).

Приведём к общему знаменателю: \(l_1 = \frac{a}{2 \sqrt{3}} + \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{a (1 + \sqrt{3})}{2 \sqrt{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получим \(l_1 = \frac{a (\sqrt{3} + 3)}{6}\).

Если центры по одну сторону, расстояние \(l_2 = r_4 — r_3 = \frac{a}{2} — \frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

Приведём к общему знаменателю: \(l_2 = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} — \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a (\sqrt{3} — 1)}{2 \sqrt{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получим \(l_2 = \frac{a (3 — \sqrt{3})}{6}\).

Рассмотрим правильный треугольник и квадрат, имеющие общую сторону длиной \(a\). Оба многоугольника вписаны в окружности. Наша задача — найти расстояние между центрами этих двух окружностей.

Сначала определим радиус окружности, описанной вокруг правильного \(n\)-угольника со стороной \(a\). Формула для радиуса окружности может быть выражена как \(R = \frac{a}{2 \tan \left(\frac{180^\circ}{n}\right)}\).

Для правильного треугольника \(n = 3\). Подставим это значение в формулу: радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен \(r_3 = \frac{a}{2 \tan \left(\frac{180^\circ}{3}\right)} = \frac{a}{2 \tan 60^\circ}\).

Известно, что \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\). Следовательно, радиус описанной окружности треугольника равен \(r_3 = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

Теперь определим радиус окружности, описанной вокруг квадрата со стороной \(a\). Для квадрата \(n = 4\). Используем ту же формулу: \(r_4 = \frac{a}{2 \tan \left(\frac{180^\circ}{4}\right)} = \frac{a}{2 \tan 45^\circ}\).

Известно, что \(\tan 45^\circ = 1\). Следовательно, радиус описанной окружности квадрата равен \(r_4 = \frac{a}{2}\).

Рассмотрим два случая расположения центров окружностей относительно общей стороны \(a\), которая является хордой для обеих окружностей.

Первый случай: центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды. В этом случае расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов. Обозначим это расстояние как \(l_1\). Тогда \(l_1 = r_3 + r_4 = \frac{a}{2 \sqrt{3}} + \frac{a}{2}\).

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю \(2 \sqrt{3}\): \(l_1 = \frac{a}{2 \sqrt{3}} + \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{a (1 + \sqrt{3})}{2 \sqrt{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \(l_1 = \frac{a (1 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a (\sqrt{3} + 3)}{6}\).

Второй случай: центры окружностей расположены по одну сторону от общей хорды. В этом случае расстояние между центрами окружностей равно абсолютной разности их радиусов. Обозначим это расстояние как \(l_2\). Тогда \(l_2 = r_4 — r_3 = \frac{a}{2} — \frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

Приведём дроби к общему знаменателю \(2 \sqrt{3}\): \(l_2 = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} — \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a (\sqrt{3} — 1)}{2 \sqrt{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \(l_2 = \frac{a (\sqrt{3} — 1) \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a (3 — \sqrt{3})}{6}\).