ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 209 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна \(a\). Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат: 1) по разные стороны от хорды; 2) по одну сторону от хорды.

\(r_3 = \frac{a}{2 \text{tg } \frac{180^\circ}{3}} = \frac{a}{2} : \text{tg } 60^\circ = \frac{a}{2\sqrt{3}}\)

\(r_6 = \frac{a}{2 \text{tg } \frac{180^\circ}{6}} = \frac{a}{2} : \text{tg } 30^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

1) По разные стороны от хорды:
\(l = r_3 + r_6 = \frac{a}{2\sqrt{3}} + \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(l = \frac{a + 3a}{2\sqrt{3}} = \frac{4a}{2\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Ответ: \(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\).

2) По одну сторону от хорды:
\(l = r_6 — r_3 = \frac{a\sqrt{3}}{2} — \frac{a}{2\sqrt{3}}\)
\(l = \frac{3a — a}{2\sqrt{3}} = \frac{2a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Ответ: \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Рассчитаем радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной \(a\). Формула радиуса описанной окружности правильного \(n\)-угольника: \(r_n = \frac{a}{2 \tan \frac{180^\circ}{n}}\). Для треугольника \(n=3\), поэтому

\(r_3 = \frac{a}{2 \tan 60^\circ} = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

Далее рассчитаем радиус описанной окружности правильного шестиугольника с той же стороной \(a\):

\(r_6 = \frac{a}{2 \tan 30^\circ} = \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).

Если центры окружностей находятся по разные стороны от общей стороны \(a\), то расстояние между центрами равно сумме радиусов:

\(l = r_3 + r_6 = \frac{a}{2 \sqrt{3}} + \frac{a \sqrt{3}}{2}\).

Приведем к общему знаменателю \(2 \sqrt{3}\):

\(\frac{a}{2 \sqrt{3}} + \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2 \sqrt{3}} + \frac{a \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}} + \frac{3a}{2 \sqrt{3}} = \frac{4a}{2 \sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\(l = \frac{2a \sqrt{3}}{3}\).

Если центры окружностей находятся по одну сторону от общей стороны \(a\), то расстояние между центрами равно разности радиусов:

\(l = r_6 — r_3 = \frac{a \sqrt{3}}{2} — \frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

Приведем к общему знаменателю \(2 \sqrt{3}\):

\(\frac{a \sqrt{3}}{2} — \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{3a}{2 \sqrt{3}} — \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{2a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\(l = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).