ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 21 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle B = 60^\circ\), точка \(O\) — центр вписанной окружности. Чему равен косинус угла \(AOC\)?

В треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — центр вписанной окружности, значит \(O\) — пересечение биссектрис. Угол \(AOC = 90^\circ + \frac{\angle B}{2}\). Подставляем \(\angle B = 60^\circ\):

\(AOC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\).

Косинус угла \(120^\circ\):

\(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\).

В треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — центр вписанной окружности, значит \(O\) — точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Угол \(AOC\) образуют две биссектрисы, исходящие из вершин \(A\) и \(C\). Известно, что угол между биссектрисами двух углов треугольника равен \(90^\circ\) плюс половина третьего угла.

В нашем случае третий угол — это угол \(B\), который равен \(60^\circ\).

Поэтому угол \(AOC = 90^\circ + \frac{\angle B}{2}\).

Подставляем значение угла \(B\): \(AOC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\).

Теперь найдём косинус угла \(120^\circ\).

Угол \(120^\circ\) можно представить как \(180^\circ — 60^\circ\), тогда \(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ\).

Известно, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

Следовательно, \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\).