ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 210 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружность вписан правильный треугольник, и около неё описан правильный треугольник. Найдите отношение сторон этих треугольников.

Пусть \( R \) — радиус окружности.

Для вписанного треугольника сторона равна \( a_B = 2R \cdot \sin \frac{180^\circ}{3} = 2R \cdot \sin 60^\circ = R \sqrt{3} \).

Для описанного треугольника сторона равна \( a_O = 2R \cdot \tan \frac{180^\circ}{3} = 2R \cdot \tan 60^\circ = 2R \sqrt{3} \).

Отношение сторон \( \frac{a_B}{a_O} = \frac{R \sqrt{3}}{2R \sqrt{3}} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( 1 : 2 \).

Пусть \( R \) — радиус окружности, которая является одновременно описанной для вписанного треугольника и вписанной для описанного треугольника.

Для правильного треугольника сторона связана с радиусом описанной окружности формулой \( a = 2R \sin \frac{180^\circ}{3} \). Подставляем угол: \( a_B = 2R \sin 60^\circ \).

Так как \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем \( a_B = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3} \).

Для правильного треугольника сторона связана с радиусом вписанной окружности формулой \( a = 2r \tan \frac{180^\circ}{3} \). Здесь \( r = R \), значит \( a_O = 2R \tan 60^\circ \).

Так как \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), получаем \( a_O = 2R \cdot \sqrt{3} = 2R \sqrt{3} \).

Теперь найдём отношение стороны вписанного треугольника к стороне описанного: \( \frac{a_B}{a_O} = \frac{R \sqrt{3}}{2R \sqrt{3}} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( 1 : 2 \).