ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 211 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В окружность вписан правильный шестиугольник, и около неё описан правильный шестиугольник. Найдите отношение сторон этих шестиугольников.
Пусть \( R \) — радиус окружности.
Для вписанного шестиугольника сторона равна \( a_{в} = 2R \sin \frac{180^\circ}{6} = 2R \sin 30^\circ = R \).
Для описанного шестиугольника сторона равна \( a_{о} = 2R \tan \frac{180^\circ}{6} = 2R \tan 30^\circ = \frac{2R}{\sqrt{3}} \).
Отношение сторон:
\( \frac{a_{в}}{a_{о}} = \frac{R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Ответ: \( \sqrt{3} : 2 \).
Пусть \( R \) — радиус окружности, на которую вписан правильный шестиугольник и вокруг которой описан другой правильный шестиугольник. Важно понять, что радиус окружности одинаков для обоих шестиугольников, но для первого он является радиусом описанной окружности, а для второго — радиусом вписанной окружности. Это ключевой момент, который поможет найти длины сторон обоих многоугольников.
Для вписанного шестиугольника сторона равна \( a_{в} = 2R \sin \frac{180^\circ}{6} \). Здесь угол \( \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ \) — это половина центрального угла правильного шестиугольника. Используя значение синуса, \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), получаем \( a_{в} = 2R \cdot \frac{1}{2} = R \). Это значит, что сторона вписанного шестиугольника равна радиусу окружности.
Для описанного шестиугольника сторона связана с радиусом вписанной окружности \( r \) формулой \( a_{о} = 2r \tan \frac{180^\circ}{6} \). Поскольку радиус вписанной окружности описанного шестиугольника равен \( r = R \), то \( a_{о} = 2R \tan 30^\circ \). Значение тангенса угла \( 30^\circ \) равно \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), поэтому \( a_{о} = 2R \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} \).
Теперь можно найти отношение сторон вписанного и описанного шестиугольников. Это отношение равно \( \frac{a_{в}}{a_{о}} = \frac{R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} \). Чтобы упростить выражение, умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \), получая \( \frac{R \sqrt{3}}{2R} \). Сокращая \( R \), получаем \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Таким образом, отношение сторон равняется \( \sqrt{3} : 2 \).
