ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 212 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сторона правильного восьмиугольника равна \(R\sqrt{2 — \sqrt{2}}\), где \(R\) — радиус его описанной окружности.

В правильном восьмиугольнике угол \( \angle AOB = \frac{360}{8} = 45^\circ \). В треугольнике \( AOB \) по теореме косинусов: \( AB^2 = OA^2 + OB^2 — 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 45^\circ \). Подставляем: \( AB^2 = R^2 + R^2 — 2 \cdot R \cdot R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2R^2 — R^2 \sqrt{2} \). Значит, \( AB = R \sqrt{2 — \sqrt{2}} \).

В правильном восьмиугольнике все стороны равны, а все центральные углы между соседними вершинами равны. Так как восьмиугольник имеет 8 сторон, полный круг в 360 градусов делится на 8 равных частей. Значит, угол \( \angle AOB \), который образуют радиусы \( OA \) и \( OB \), равен \( \frac{360}{8} = 45^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \), где точки \( A \) и \( B \) — соседние вершины восьмиугольника, а \( O \) — центр описанной окружности. Известно, что \( OA = OB = R \), так как это радиусы окружности.

Чтобы найти длину стороны \( AB \), применим теорему косинусов. Она говорит, что в любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для треугольника \( AOB \) это будет:

\( AB^2 = OA^2 + OB^2 — 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \angle AOB \).

Подставим известные значения:

\( AB^2 = R^2 + R^2 — 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos 45^\circ = 2R^2 — 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Упростим выражение:

\( AB^2 = 2R^2 — R^2 \sqrt{2} = R^2 (2 — \sqrt{2}) \).

Наконец, извлечём корень из обеих частей уравнения, чтобы найти длину стороны:

\( AB = R \sqrt{2 — \sqrt{2}} \).