ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 213 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сторона правильного двенадцатиугольника равна \(R\sqrt{2 — \sqrt{3}}\), где \(R\) — радиус его описанной окружности.

В правильном двенадцатиугольнике угол \( \angle AOB = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \). В треугольнике \( \triangle AOB \) по теореме косинусов: \( AB^2 = OA^2 + OB^2 — 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \angle AOB \). Подставляем: \( AB^2 = R^2 + R^2 — 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos 30^\circ = 2R^2 — 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\)
\(= 2R^2 — R^2 \sqrt{3} = R^2 (2 — \sqrt{3}) \).
Значит, \( AB = R \sqrt{2 — \sqrt{3}} \).

В правильном двенадцатиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \). Этот угол обозначим как \( \angle AOB \), где \( O \) — центр окружности, а \( A \) и \( B \) — соседние вершины.

Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \). Он равнобедренный, так как \( OA = OB = R \) — радиусы окружности. Нам нужно найти длину стороны \( AB \).

Для этого применим теорему косинусов, которая гласит: \( AB^2 = OA^2 + OB^2 — 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \angle AOB \).

Подставим известные значения: \( AB^2 = R^2 + R^2 — 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos 30^\circ = 2R^2 — 2R^2 \cdot \cos 30^\circ \).

Известно, что \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому подставим это значение: \( AB^2 = 2R^2 — 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2R^2 — R^2 \sqrt{3} \).

Вынесем \( R^2 \) за скобки: \( AB^2 = R^2 (2 — \sqrt{3}) \).

Найдём длину стороны \( AB \), извлекая квадратный корень: \( AB = R \sqrt{2 — \sqrt{3}} \).