ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 214 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Какая ширина проёма должна быть у ключа для шестигранной гайки, основания которой имеют форму правильного шестиугольника (рис. 47), если ширина грани гайки равна 25 мм, а зазор между гранями гайки и ключа — 0,5 мм?
Дано: правильный шестиугольник \( ABCDEF \), сторона \( AB = 25 \) мм. Нужно найти \( BF + 1 \) мм.
В правильном шестиугольнике сумма внутренних углов равна \( (n — 2) \cdot 180^\circ \), где \( n = 6 \).
Значит, сумма углов: \( 6 \cdot \angle A = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \), откуда \( \angle A = 120^\circ \).
Так как \( AB = AF = 25 \) мм, рассмотрим треугольник \( \triangle ABF \).
По теореме косинусов:
\( BF^2 = AB^2 + AF^2 — 2 \cdot AB \cdot AF \cdot \cos \angle A \)
\( BF^2 = 25^2 + 25^2 — 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \cos 120^\circ \)
\( BF^2 = 625 + 625 — 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot (-\frac{1}{2}) \)
\( BF^2 = 1250 + 625 = 1875 \)
\( BF = \sqrt{1875} \approx 43 \) мм
Тогда \( BF + 1 = 44 \) мм
Ответ: 4,4 см
Правильный шестиугольник — это многоугольник с шестью равными сторонами и равными углами, каждый из которых равен \( 120^\circ \). В нашем случае сторона шестиугольника \( AB \) равна 25 мм. Чтобы найти ширину проёма ключа, нужно определить расстояние между двумя противоположными вершинами, например, между точками \( B \) и \( F \). Это расстояние и будет шириной проёма, к которому добавим зазор для удобства использования ключа.
Для вычисления длины отрезка \( BF \) рассмотрим треугольник \( ABF \), в котором известно две стороны: \( AB = 25 \) мм и \( AF = 25 \) мм, так как все стороны правильного шестиугольника равны. Угол между этими сторонами равен \( 120^\circ \), так как внутренние углы правильного шестиугольника равны именно этому значению. Чтобы найти длину стороны \( BF \), воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет вычислить сторону треугольника через две другие стороны и угол между ними. Формула теоремы косинусов выглядит так: \( BF^2 = AB^2 + AF^2 — 2 \cdot AB \cdot AF \cdot \cos \angle A \).
Подставим известные значения в формулу: \( BF^2 = 25^2 + 25^2 — 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \cos 120^\circ \). Значение косинуса угла \( 120^\circ \) равно \( -\frac{1}{2} \), поэтому выражение примет вид: \( BF^2 = 625 + 625 — 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \). Умножая и учитывая знак минус, получаем \( BF^2 = 1250 + 625 = 1875 \). Теперь найдём длину \( BF \), извлекая квадратный корень: \( BF = \sqrt{1875} = \sqrt{25 \cdot 75} = 5 \sqrt{75} \approx 43 \) мм.
Полученное значение \( BF \approx 43 \) мм — это расстояние между противоположными вершинами шестиугольника, которое соответствует ширине проёма ключа без учёта зазора. Для того чтобы ключ свободно входил и не заедал, добавим по 0,5 мм с каждой стороны, то есть всего прибавим 1 мм. Итоговая ширина проёма ключа будет равна \( BF + 1 = 43 + 1 = 44 \) мм. Переведём миллиметры в сантиметры: 44 мм = 4,4 см. Таким образом, ширина проёма ключа с учётом зазора равна 4,4 см.
