ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 215 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь правильного восьмиугольника, если радиус описанной около него окружности равен \(R\).

В правильном восьмиугольнике центральный угол равен \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \). Площадь треугольника \( AOB \) равна \( \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} R^{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R^{2} \sqrt{2}}{4} \). Площадь восьмиугольника равна \( 8 \cdot \frac{R^{2} \sqrt{2}}{4} = 2 R^{2} \sqrt{2} \). Ответ: \( 2 R^{2} \sqrt{2} \).

Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон и вписан в окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \). Это значит, что все вершины восьмиугольника лежат на окружности радиуса \( R \).

Центральный угол между двумя соседними радиусами, проведёнными к вершинам восьмиугольника, равен \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \), где \( A \) и \( B \) — соседние вершины восьмиугольника. В этом треугольнике стороны \( AO \) и \( OB \) равны радиусу \( R \), а угол между ними равен \( 45^\circ \).

Площадь треугольника \( AOB \) вычисляется по формуле \( \frac{1}{2} \times AO \times OB \times \sin \angle AOB \). Подставляя значения, получаем \( \frac{1}{2} \times R \times R \times \sin 45^\circ \).

Значение \( \sin 45^\circ \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), поэтому площадь треугольника равна \( \frac{1}{2} R^{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R^{2} \sqrt{2}}{4} \).

Так как восьмиугольник состоит из 8 таких равных треугольников, площадь всего восьмиугольника равна \( 8 \times \frac{R^{2} \sqrt{2}}{4} = 2 R^{2} \sqrt{2} \).

Ответ: \( 2 R^{2} \sqrt{2} \).