ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 216 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите диагонали и площадь правильного шестиугольника, сторона которого равна \(a\).

Дано: правильный шестиугольник ABCDEF, сторона AB равна \(a\).

Радиус описанной окружности \(R = \frac{a}{2 \sin \frac{180^\circ}{6}} = a\).

Центральный угол равен \(120^\circ\).

Площадь треугольника ABC:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Диагональ CF равна \(CF = 2a\).

Диагональ AC равна \(AC = \sqrt{(2a)^2 — a^2} = \sqrt{4a^2 — a^2} = a \sqrt{3}\).

Площадь всего шестиугольника:
\(S = 6 \cdot S_{ABC} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}\).

Ответ: \(a \sqrt{3}; 2a; \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}\).

Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон, каждая длиной \(a\).

Радиус описанной окружности равен стороне, то есть \(R = a\). Это потому что вершины правильного шестиугольника лежат на окружности радиуса \(a\).

Центральный угол между соседними вершинами равен \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \). Угол при центре между точками \(A\) и \(C\) будет в два раза больше, то есть \(120^\circ\).

Диагональ \(CF\) соединяет две противоположные вершины, поэтому она равна диаметру описанной окружности: \(CF = 2R = 2a\).

Чтобы найти диагональ \(AC\), рассмотрим треугольник \(AOC\), где \(O\) — центр окружности. Углы при \(O\) равны \(120^\circ\), а стороны \(OA\) и \(OC\) равны \(a\). По теореме косинусов:
\(AC^2 = OA^2 + OC^2 — 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos 120^\circ = a^2 + a^2 — 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) =\)
\(= 2a^2 + a^2 = 3a^2\).
Отсюда \(AC = a \sqrt{3}\).

Площадь одного из шести равных треугольников, на которые разбит шестиугольник, равна:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Площадь всего шестиугольника равна сумме площадей всех шести треугольников:
\(S = 6 \cdot S_{ABC} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}\).

Ответ:
диагональ \(AC = a \sqrt{3}\),
диагональ \(CF = 2a\),
площадь \(S = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}\).