Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 217 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Углы квадрата со стороной 6 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону полученного восьмиугольника.
Дано, что \(AD = 6\), \(EF = FM = MN\), нужно найти \(EF\).
Пусть \(AF = x\). Тогда \(AD = AF + FM + MD = x + EF + x = 2x + EF = 6\), значит \(EF = 6 — 2x\).
В треугольнике \(AEF\) угол \(EAF = 90^\circ\), \(AE = AF = x\), тогда по теореме Пифагора \(EF = \sqrt{x^2 + x^2} = x \sqrt{2}\).
Приравниваем: \(EF = 6 — 2x = x \sqrt{2}\).
Получаем уравнение \(x \sqrt{2} + 2x = 6\).
Вынесем \(x\) за скобки: \(x (\sqrt{2} + 2) = 6\).
Отсюда \(x = \frac{6}{\sqrt{2} + 2}\).
Подставим \(x\) в \(EF = x \sqrt{2}\):
\(EF = \frac{6}{\sqrt{2} + 2} \cdot \sqrt{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2}\).
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2} — 2\):
\(EF = \frac{6 \sqrt{2} (\sqrt{2} — 2)}{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} — 2)} = \frac{6 \sqrt{2} (\sqrt{2} — 2)}{2 — 4} = \frac{6 \sqrt{2} (\sqrt{2} — 2)}{-2}\).
Раскроем скобки в числителе:
\(6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12\), \(6 \sqrt{2} \cdot (-2) = -12 \sqrt{2}\).
Тогда \(EF = \frac{12 — 12 \sqrt{2}}{-2} = -6 (1 — \sqrt{2}) = 6 (\sqrt{2} — 1)\).
Ответ: \(6 (\sqrt{2} — 1)\) см.
Рассмотрим квадрат \(ABCD\) со стороной \(AD = 6\) см. При срезании углов квадрата образуется правильный восьмиугольник с равными сторонами \(EF = FM = MN\). Чтобы найти длину стороны восьмиугольника \(EF\), введём переменную для удобства — пусть \(AF = x\). Это значит, что сторона квадрата \(AD\) разбивается на три части: отрезок \(AF\), сторону восьмиугольника \(EF\) (она же равна \(FM\) и \(MN\)) и отрезок \(MD\). Поскольку \(AF = MD = x\), то длина стороны квадрата равна сумме этих трёх частей, то есть \(AD = AF + EF + MD = x + EF + x = 2x + EF\). Из условия известно, что \(AD = 6\), значит уравнение принимает вид \(2x + EF = 6\), откуда легко выразить сторону восьмиугольника: \(EF = 6 — 2x\).
Теперь рассмотрим треугольник \(AEF\), который образуется при срезании угла квадрата. Угол \(EAF\) является прямым, так как \(A\) — угол квадрата. Кроме того, отрезки \(AE\) и \(AF\) равны, так как срезание происходит симметрично. Значит, \(AE = AF = x\). По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы \(EF\) в треугольнике \(AEF\): \(EF = \sqrt{AE^2 + AF^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x \sqrt{2}\). Таким образом, мы получили два выражения для длины стороны восьмиугольника: \(EF = 6 — 2x\) и \(EF = x \sqrt{2}\).
Приравняем эти два выражения, так как они описывают одну и ту же длину: \(6 — 2x = x \sqrt{2}\). Перенесём все слагаемые с \(x\) в одну сторону уравнения: \(6 = x \sqrt{2} + 2x\). Вынесем \(x\) за скобки: \(6 = x (\sqrt{2} + 2)\). Отсюда выразим \(x\): \(x = \frac{6}{\sqrt{2} + 2}\). Подставим найденное значение \(x\) в выражение для \(EF\): \(EF = x \sqrt{2} = \frac{6}{\sqrt{2} + 2} \cdot \sqrt{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2}\). Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{2} — 2\): \(EF = \frac{6 \sqrt{2} (\sqrt{2} — 2)}{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} — 2)} = \frac{6 \sqrt{2} (\sqrt{2} — 2)}{2 — 4} = \frac{6 \sqrt{2} (\sqrt{2} — 2)}{-2}\).
Раскроем числитель: \(6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12\), \(6 \sqrt{2} \cdot (-2) = -12 \sqrt{2}\). Получим \(EF = \frac{12 — 12 \sqrt{2}}{-2} = -6 (1 — \sqrt{2})\). Перепишем выражение, поменяв знаки: \(EF = 6 (\sqrt{2} — 1)\). Таким образом, длина стороны правильного восьмиугольника, образованного срезанием углов квадрата со стороной 6 см, равна \(6 (\sqrt{2} — 1)\) см.
