ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 219 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите диагонали правильного восьмиугольника, сторона которого равна \(a\).
Дано: правильный восьмиугольник, сторона \( AB = a \).
Восьмиугольник: сумма углов \( 8 \cdot \angle B = 6 \cdot 180^\circ \), значит \( \angle B = 135^\circ \).
В треугольнике \( ABC \) по теореме косинусов:
\( AC^2 = a^2 + a^2 — 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 135^\circ = 2a^2 — 2a^2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2a^2 + a^2 \sqrt{2} =\)
\(= a^2 (2 + \sqrt{2}) \),
откуда \( AC = a \sqrt{2 + \sqrt{2}} \).
Диаметр \( AE \) равен \( AE = \sqrt{AC^2 + CE^2} = \sqrt{a^2 (2 + \sqrt{2}) + a^2 (2 + \sqrt{2})} = a \sqrt{2 (2 + \sqrt{2})} = \)
\(=a \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} \).
Диагональ \( AD = \sqrt{AE^2 — DE^2} = \sqrt{a^2 (4 + 2 \sqrt{2}) — a^2} = a \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = a (\sqrt{2} + 1) \).
Ответ: \( AC = a \sqrt{2 + \sqrt{2}} \), \( AD = a (\sqrt{2} + 1) \), \( AE = a \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} \).
Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон и равные углы. Сумма внутренних углов восьмиугольника равна \( (8 — 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ \). Значит каждый внутренний угол равен \( \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ \).
Рассмотрим треугольник \( ABC \), где \( AB = a \), \( BC = a \), а угол при вершине \( B \) равен \( 135^\circ \). Чтобы найти длину диагонали \( AC \), применим теорему косинусов:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B = a^2 + a^2 — 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 135^\circ=\)
\( = 2a^2 — 2a^2 \cos 135^\circ \).
Значение косинуса угла \( 135^\circ \) равно \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставим это в формулу:
\( AC^2 = 2a^2 — 2a^2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2a^2 + a^2 \sqrt{2} = a^2 (2 + \sqrt{2}) \).
Отсюда следует, что \( AC = a \sqrt{2 + \sqrt{2}} \).
Теперь рассмотрим диагональ \( AE \), которая является диаметром описанной окружности. В треугольнике \( ACE \) угол \( \angle ACE \) прямой, так как диаметр опирается на прямой угол. Следовательно, по теореме Пифагора:
\( AE^2 = AC^2 + CE^2 \).
Поскольку \( CE = AC \), то
\( AE^2 = a^2 (2 + \sqrt{2}) + a^2 (2 + \sqrt{2}) = 2a^2 (2 + \sqrt{2}) = a^2 (4 + 2 \sqrt{2}) \).
Отсюда \( AE = a \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} \).
Для нахождения диагонали \( AD \) рассмотрим треугольник \( ADE \). По теореме Пифагора:
\( AD^2 = AE^2 — DE^2 \).
Поскольку \( DE = a \), получаем:
\( AD^2 = a^2 (4 + 2 \sqrt{2}) — a^2 = a^2 (3 + 2 \sqrt{2}) \).
Выражение \( 3 + 2 \sqrt{2} \) можно представить как квадрат суммы:
\( 3 + 2 \sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2 \).
Следовательно,
\( AD = a (\sqrt{2} + 1) \).
Итоговые значения диагоналей:
\( AC = a \sqrt{2 + \sqrt{2}} \),
\( AD = a (\sqrt{2} + 1) \),
\( AE = a \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} \).
