ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 22 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(O\) — центр окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), \(\cos \angle BOC = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Найдите угол \(A\) треугольника.

Дано: точка \(O\) — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\), \(\cos \angle BOC = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Известно, что угол между биссектрисами углов \(B\) и \(C\) равен \(90^\circ + \frac{A}{2}\).

Так как \(\cos \angle BOC = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\angle BOC = 150^\circ\).

Подставляем в формулу: \(150 = 90 + \frac{A}{2}\).

Вычисляем: \(\frac{A}{2} = 150 — 90 = 60\).

Следовательно, \(A = 60 \times 2 = 120^\circ\).

Точка \(O\) является центром вписанной окружности треугольника \(ABC\). Это означает, что \(O\) — точка пересечения биссектрис всех углов треугольника. Биссектриса — это луч, который делит угол пополам, и центр вписанной окружности лежит именно на пересечении таких лучей. Таким образом, \(O\) находится внутри треугольника и равновдалён от всех сторон.

Угол \(\angle BOC\) образован лучами \(OB\) и \(OC\), которые являются биссектрисами углов при вершинах \(B\) и \(C\) соответственно. Известно важное свойство: угол между биссектрисами двух углов треугольника равен \(90^\circ\) плюс половина третьего угла. То есть, если мы рассматриваем биссектрисы углов \(B\) и \(C\), то угол между ними равен \(90^\circ + \frac{A}{2}\), где \(A\) — угол при вершине \(A\).

Нам дано, что \(\cos \angle BOC = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Из таблицы значений косинусов известно, что \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, угол \(\angle BOC\) равен \(150^\circ\). Подставим это значение в формулу для угла между биссектрисами: \(150 = 90 + \frac{A}{2}\). Вычтем 90 из обеих частей уравнения: \(\frac{A}{2} = 150 — 90 = 60\). Умножим обе части на 2, чтобы найти угол \(A\): \(A = 60 \times 2 = 120^\circ\). Таким образом, угол \(A\) треугольника равен \(120^\circ\).