ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 220 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В правильном двенадцатиугольнике, сторона которого равна \(a\), последовательно соединили середины шести сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося правильного шестиугольника.

Сторона правильного двенадцатиугольника \(a\) связана с радиусом описанной окружности \(R_6\) формулой \(a = 2 R_6 \sin 15^\circ\), откуда \(R_6 = \frac{a}{2 \sin 15^\circ}\).

Соединим середины сторон, взятых через одну, тогда длина стороны нового шестиугольника равна расстоянию между серединами сторон \(M_0\) и \(M_2\).

Координаты середины стороны \(k\): \(M_k = \frac{V_k + V_{k+1}}{2}\), где \(V_k = (R_6 \cos 30^\circ k, R_6 \sin 30^\circ k)\).

Тогда
\(M_0 = \left(\frac{R_6 (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})}{2}, \frac{R_6}{4}\right)\),
\(M_2 = \left(\frac{R_6}{4}, \frac{R_6 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)}{2}\right)\).

Расстояние между \(M_0\) и \(M_2\) равно

\(R_6 \sqrt{\left(\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} — \frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} — \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2}\right)^2} = R_6 \frac{1 + \sqrt{3}}{4} \sqrt{2}\).

Подставляя \(R_6 = \frac{a}{2 \sin 15^\circ}\) и упрощая, получаем

сторона нового шестиугольника равна \(a \frac{2 + \sqrt{3}}{2}\).

Ответ: \(a \frac{2 + \sqrt{3}}{2}\).

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник со стороной длины \(a\). Для начала важно понять связь между стороной \(a\) и радиусом описанной окружности \(R_6\). Поскольку двенадцатиугольник правильный, его вершины лежат на окружности радиуса \(R_6\). Сторона \(a\) равна длине хорды, соответствующей центральному углу \(360^\circ / 12 = 30^\circ\). Тогда половина стороны \(a\) равна \(R_6 \sin 15^\circ\), потому что половина угла при центре, соответствующего стороне, равна \(15^\circ\). Следовательно, сторона выражается через радиус так: \(a = 2 R_6 \sin 15^\circ\), откуда можно выразить радиус: \(R_6 = \frac{a}{2 \sin 15^\circ}\).

Далее по условию задачи нужно соединить середины шести сторон, взятых через одну. Это значит, что мы берем каждую вторую сторону, всего шесть таких сторон, и находим их середины. Новые точки будут вершинами правильного шестиугольника. Чтобы найти длину стороны этого шестиугольника, нужно вычислить расстояние между центрами двух соседних выбранных сторон. Обозначим середины этих сторон как \(M_0\) и \(M_2\). Для вычисления координат этих точек удобно использовать систему координат, где вершины правильного двенадцатиугольника задаются координатами \(V_k = (R_6 \cos 30^\circ k, R_6 \sin 30^\circ k)\), где \(k\) — номер вершины. Тогда середина стороны с номером \(k\) будет точкой \(M_k = \frac{V_k + V_{k+1}}{2}\).

Подставляя значения для \(k=0\) и \(k=2\), получаем:
\(M_0 = \left(\frac{R_6(\cos 0^\circ + \cos 30^\circ)}{2}, \frac{R_6(\sin 0^\circ + \sin 30^\circ)}{2}\right) = \left(\frac{R_6(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})}{2}, \frac{R_6}{4}\right)\),
\(M_2 = \left(\frac{R_6(\cos 60^\circ + \cos 90^\circ)}{2}, \frac{R_6(\sin 60^\circ + \sin 90^\circ)}{2}\right) = \left(\frac{R_6}{4}, \frac{R_6(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)}{2}\right)\).

Теперь вычислим расстояние между точками \(M_0\) и \(M_2\). Формула расстояния между двумя точками в плоскости:
\(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Подставляя координаты, получаем
\(\sqrt{\left(\frac{R_6}{4} — \frac{R_6(1+\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}\right)^2 + \left(\frac{R_6(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)}{2} — \frac{R_6}{4}\right)^2}\). Вынесем \(R_6\) за скобки:
\(R_6 \sqrt{\left(\frac{1}{4} — \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+1}{2} — \frac{1}{4}\right)^2}\). Упростив выражения в скобках, получаем
\(R_6 \frac{1+\sqrt{3}}{4} \sqrt{2}\).

Подставляя выражение для \(R_6\), имеем
\(\frac{a}{2 \sin 15^\circ} \cdot \frac{1+\sqrt{3}}{4} \sqrt{2}\). После упрощения это выражение равно
\(a \frac{2 + \sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, сторона правильного шестиугольника, образованного соединением середин шести сторон двенадцатиугольника, равна
\(a \frac{2 + \sqrt{3}}{2}\).