ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 221 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В правильном восьмиугольнике, сторона которого равна \(a\), последовательно соединили середины четырёх сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося квадрата.

Сторона восьмиугольника равна \(a\). Радиус описанной окружности \(R_8 = \frac{a}{2 \sin 22,5^\circ}\).

\(\sin 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}\), значит \(R_8 = \frac{a}{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}\).

Середины четырёх сторон через одну имеют координаты, и длина стороны квадрата равна

\(a_4 = \frac{R_8}{2} \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2 + 1} = \frac{R_8}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{R_8 \sqrt{2}}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}\).

Подставляем \(R_8\):

\(a_4 = \frac{a \sqrt{2}}{2 \sqrt{2 — \sqrt{2}}} \sqrt{2 + \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}\).

Рационализируем:

\(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 — \sqrt{2}}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\).

Тогда

\(a_4 = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{a(2 + \sqrt{2})}{2}\).

Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон длины \(a\). Для начала найдём радиус описанной окружности \(R_8\), на которой лежат вершины восьмиугольника. Формула для радиуса описанной окружности правильного многоугольника со стороной \(a\) и числом сторон \(n\) равна \(R_n = \frac{a}{2 \sin \frac{180^\circ}{n}}\). Для восьмиугольника \(n=8\), значит \(R_8 = \frac{a}{2 \sin 22,5^\circ}\).

Значение \(\sin 22,5^\circ\) можно выразить через квадратные корни: \(\sin 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}\). Подставим это в формулу для радиуса: \(R_8 = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}\).

Стороны восьмиугольника нумеруем по порядку: \(S_0 = V_0V_1, S_1 = V_1V_2, \ldots, S_7 = V_7V_0\). По условию нужно соединить середины четырёх сторон, взятых через одну. Выберем стороны \(S_0, S_2, S_4, S_6\). Середина стороны \(S_k\) — это точка \(M_k = \frac{V_k + V_{k+1}}{2}\).

Вершины восьмиугольника лежат на окружности радиуса \(R_8\) с углами через каждые \(45^\circ\). Координаты вершины \(V_k\) равны \(V_k = (R_8 \cos 45^\circ k, R_8 \sin 45^\circ k)\).

Найдём координаты середин выбранных сторон:

\(M_0 = \frac{V_0 + V_1}{2} = R_8 \left(\frac{1 + \cos 45^\circ}{2}, \frac{\sin 45^\circ}{2}\right)\),

\(M_2 = \frac{V_2 + V_3}{2} = R_8 \left(\frac{\cos 90^\circ + \cos 135^\circ}{2}, \frac{\sin 90^\circ + \sin 135^\circ}{2}\right)\),

\(M_4 = \frac{V_4 + V_5}{2}\), \(M_6 = \frac{V_6 + V_7}{2}\) аналогично.

Подставим числовые значения: \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 90^\circ = 0\), \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Тогда

\(M_0 = R_8 \left(\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right) = R_8 \left(\frac{2 + \sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\),

\(M_2 = R_8 \left(\frac{0 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}, \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right) = R_8 \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\right)\).

Длина стороны квадрата равна расстоянию между точками \(M_0\) и \(M_2\):

\(a_4 = |M_0 M_2| = R_8 \sqrt{\left(\frac{2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4} — \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\right)^2}\).

Упростим выражения внутри корня:

По \(x\)-координате: \(\frac{2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\).

По \(y\)-координате: \(\frac{\sqrt{2}}{4} — \frac{2 + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} — 2 — \sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{2}\).

Тогда

\(a_4 = R_8 \sqrt{\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = R_8 \sqrt{\frac{(1 + \sqrt{2})^2}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{R_8}{2} \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2 + 1}\).

Раскроем квадрат:

\((1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}\).

Значит

\((1 + \sqrt{2})^2 + 1 = 4 + 2\sqrt{2}\).

Подставляем:

\(a_4 = \frac{R_8}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{R_8 \sqrt{2}}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}\).

Подставим \(R_8 = \frac{a}{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}\):

\(a_4 = \frac{a \sqrt{2}}{2 \sqrt{2 — \sqrt{2}}} \sqrt{2 + \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}\).

Рационализируем дробь под корнем:

\(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 — \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 — \sqrt{2}}}\).

Домножаем числитель и знаменатель под корнем на \(2 + \sqrt{2}\):

\(\frac{2 + \sqrt{2}}{2 — \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{4 — 2} = \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2}\).

Раскроем квадрат:

\((2 + \sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}\).

Значит

\(\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\).

Подставляем обратно:

\(a_4 = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{a(2 + \sqrt{2})}{2}\).